Triangles équilatéraux directs

[Reynolds_05]

Bonsoir à tous,
J'ai un exercice à faire sur des triangles équilatéraux directs (dans le plan complexe) mais je n'arrive pas à aboutir au résultat. Je pense avoir trouver un piste mais pas plus...

Voici l'énoncé :
Soit ABC un triangle direct (l'angle des vecteurs AB et AC est direct). Soit A', B' et C' trois points tels que les triangles A'CB, B'AC, C'BA soient directs.

1/ Le plan est dans un repère (o,i,j). Exprimer a', b' et c' à l'aide de a, b, c (affixes des points). On pourra utiliser j=exp(2i;)/3).

2/ On considère les points M,N,P les centres de gravités des triangles A'CB, B'AC et C'BA.
Déterminer les affixes m, n, p.

Alors voici quelques pistes que j'ai envisagées.
Pour la question 1,
on a a'=ub+w
et a'=uc+w

on a c'=ua+w
et c'=ub+w

on a b'=ua+w
et b'=uc+w

Mais à ce niveau, je ne vois pas comment exprimer les affixes à l'aide de j.

Pour la question 2, je pensais utiliser la définition du centre de gravité et des médianes.
Le centre de gravité est au deux-tiers des médianes à partir des sommets. Il faut donc calculer le milieu du côté opposé pour trouver l'affixe du vecteur.

Par ailleurs, comment exprimer les affixes des points A, B et C avec j ?
Il faut juste écrire A=xa+ya*i ?

Merci d’avance pour votre aide,
Reynolds

[Ben314]

Il ne manquerais pas par hasard un petit bout d'énoncé, par exemple :

Voici l'énoncé :
Soit ABC un triangle direct (l'angle des vecteurs AB et AC est direct). Soit A', B' et C' trois points tels que les triangles A'CB, B'AC, C'BA soient équilatéraux directs.

[Reynolds_05]

Oui en effet, ils doivent être équilatéraux.

[Ben314]

Rappel : un triangle PQR est équilatéral direct ssi (longueurs) et l'angle de vers vaut

Si les points P,Q,R ont pour affixe , tu doit savoir exprimer les longueurs et ainsi que l'angle de vers à l'aide de et en déduire que PQR est équilatéral direct ssi vérifient ...

[Reynolds_05]

Dans ce cas, on a AB=b-a , AC=c-a et BC=c-b

De même, on
CA' = BA' = BC = b-c
et AC' = BC' = AB = b-a
et AB'=CB'=AC=c-a

Et chacun des angles des triangles (') vaut Pi/3

[Reynolds_05]

Faut-il plutôt passer par les vecteurs ?
->OA'=OA+AC+CA' (vecteur)

OA'=OA+AC+CB (distance)

Merci d'avance pour votre aide,
Reynolds

[Ben314]

Rappel : un triangle PQR est équilatéral direct ssi (longueurs) et l'angle de vers vaut

Si les points P,Q,R ont pour affixe , tu doit savoir exprimer les longueurs et ainsi que l'angle de vers à l'aide de et en déduire que PQR est équilatéral direct ssi vérifient ...

La longueur , c'est pas , mais c'est le module
Donc (longueurs) avec les affixes, ça s'écrit

Et l'angle de vers avec les affixes, ça s'écrit comment ?

[Reynolds_05]

l'angle de PQ (vecteur) vers PR (vecteur) correspond à l'argument noté (PQ (vecteur) ^PR (vecteur).
Comme le triangle est équilatéral, il vaut ;)/3.

Dans ce cas, on aurait arg(PR)-arg(PQ) ?

[Reynolds_05]

Peut-on applique ici la formule suivante :
(PQ,PR (vecteurs) = Arg[(r-p)/(q-p)] [2*Pi]

Ou alors appliquer la médiatrice du bipoint ?
C'est à dire |(z-a)/(z-b)|=|z-a|²=k²|z-b|² par exemple ?

Merci d'avance pour votre aide,
Reynolds