Problèmes: Triangles et quadrilatères

[Reinhard]

Bonjour !

Je commence bientôt ma session d'examens, et je m'exerce au travers de problèmes (que nous aurons dans le même genre). J'ai pu en résoudre quelques-uns, mais d'autres s’avèrent plus complexes pour moi.
Ce n'est pas la réponse le plus important, mais savoir expliquer en français la démarche pour la trouver.

Voici les énoncés:

La figure suivante, qui n’est pas dessinée avec précision, montre un parallélogramme
inscrit dans un triangle. Certains segments sont isométriques.
Que vaut l’amplitude de l’angle noté X ?


La figure qui suit montre un triangle équilatéral inscrit dans un losange. Les côtés du
losange et du triangle sont isométriques.
Que vaut l’amplitude de l’angle noté X ?


Les quatre bissectrices des angles internes d’un quadrilatère ABCD ont été tracées sur la
figure suivante. Ces bissectrices se rencontrent pour former un autre quadrilatère PQRS.
Si PQRS est un rectangle, que pouvez-vous dire d’ABCD ?


Dans la figure qui suit, VWX et XYZ sont des triangles équilatéraux isométriques.
L’angle VXY mesure 80°.
Que vaut l’amplitude de l’angle VWY ?


Je suis plutôt perdu car ce sont des notions que je n'ai jamais vu en secondaire.

Merci d'avance pour votre aide et votre temps.

[Pseuda]

Bonjour,

Pour le 1er, on applique les propriétés du collège concernant la géométrie :

Appelle A et B les 2 angles à la base du parallélogramme. Appelle C et D les 2 angles à la base des 2 triangles isocèles (C du côté de B).

Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux, les angles opposés 2 à 2 d'un parallélogramme sont égaux, la somme des angles d'un triangle fait 180°, la somme de 2 angles consécutifs d'un parallélogramme fait 180°, les angles correspondants sont égaux (du même côté de 2 droites parallèles), et un angle plat fait 180°.

Mouline tout ça. Marque les angles égaux sur le dessin. A+B=? A+2C= ? B+2D= ? X+C+D=? On trouve X.

[Reinhard]

Je comprends pour les propriétés, mais je ne vois pas comment je peux trouver des amplitudes autres que celles des angles plats ?

A+B = 180° si j'ai bien compris, mais quelle démarche me permet de trouver par exemple celle de D ou de C ?

[Ben314]

Salut,
Normalement, c'est tout des trucs vu au collège (et on appelle souvent ça une "chasse aux angles").
Ce que tu utilise, c'est que :
- La somme des angles d'un triangle, ça fait Pi (ou 180° si tu préfère)
- La somme des angles d'un quadrilatère, ça fait 2.Pi (=360°)
- Si deux droites parallèles en coupent une troisième, ça fait les mêmes angles (il me semble que c'est un truc que certain appellent "alternes-trucbidule", mais je sais plus le nom)
- Si un triangle a deux cotés de même longueur alors il a deux angles égaux et réciproquement (ça s'appelle un triangle isocèle)
- Si un triangle a trois cotés de même longueur alors ces trois angles sont égaux à Pi/3(=60°) et réciproquement (ça s'appelle un triangle équilatéral)
- Plus éventuellement d'autres trucs auquel je pense pas immédiatement...

Pour les deux premiers exos, c'est suffisant pour trouver les angles demandés (un angle droit pour le premier et un angle de 2.Pi/3 pour le second)

[Reinhard]

J'ai fait ce qui s'appelle en Belgique la technique de qualification (pas de collège/lycée chez nous), donc les maths sont étudiées en surface, et la majorité des étudiants qui veulent enseigner en primaire sortent de là en option éducation, arts pour ma part.

Mais vous me donnez les caractéristiques des triangles, ça je les connais, oui dans un triangle il y a 180°, ça ne m'explique pas, dans le premier exercice, comment je trouve les amplitudes en question (par exemple celles des deux triangles isocèles) qui me permettent à la fin de dire celle de x. Comment peux-tu affirmer que x est un angle droit ?

[Ben314]

Comment peux-tu affirmer que x est un angle droit ?

Ben en faisant... ce que je t'ai dit de faire..., c'est à dire une "chasse aux angles"
Si on note alpha l'angle BAG alors :
- Comme le triangle BAG est isocèle en B, l'angle AGB vaut aussi alpha et l'angle GBA vaut Pi-2.alpha (pour que la somme des 3 fasse Pi).
- L'angle ECB est égal à GBA (car les droites (BG) et (CE) sont parallèles) donc vaut aussi Pi-2.alpha donc son complémentaire DCE vaut 2.alpha.
- Comme le triangle CDE est isocèle en C, les angles EDC et CED sont égaux et leur somme vaut Pi-DCE=Pi-2.alpha donc ils sont tout les deux égaux à Pi/2-alpha.
- Dans le triangle ADF, on a DAF+FDA+AFD=Pi donc X=AFD=Pi-DAF-FDA=Pi-alpha-(Pi/2-alpha)=Pi/2

P.S. Et c'est bien chiant à écrire alors que sur un dessin, la "cascade de déduction" demande 30 secondes...

[chan79]

salut
pour le 2, je trouve soit 80°.
Le 4 se fait vite de tête si on pense à calculer les angles du triangle XYW.

[Ben314]

salut
pour le 2, je trouve

Ah...
Les avis sont donc partagés : je trouve Pi/3...

[chan79]

Pour la 3, démontre que les angles opposés sont de même mesure.

[Pseuda]

Pour la 2), je trouve 80°=4 pi /9.

[Ben314]

pour le 2, je trouve soit 80°.

Pour la 2), je trouve 80°=4 pi /9.

Ah... 2 à 1 -> j'ai du me gourrer...