Décomposition de n! en produit de facteur premiers

[Bilou92]

Bonsoir , je suis actuellement en spé math et je bloque sur un exo :

On désigne par E(x) la partie entière du réel x

Enoncé : Soit n un entier et un nombre premier p .

0 ) Soit n un entier et p un nombre premier . Montrer que E(n/p)+E(n/p²)+E(n/p^3)+... est une somme finie Fait
1) Soit k un entier naturel. Parmi les nombres 2,3 ... n combien y en a-t-il qui sont divisibles par p^k, mais pas par p^(k+1) ?

2) En déduire que l'exposant de p dans la décomposition en facteur premier de n! est

J'ai essayé d'écrire le produit des nombres de 2 à n pour retrouver n! (en voyant la question 2) puis de diviser par p^k mais sans succès ...
But On veut faire ça pour montrer que pour tout (n,k) naturels ,
k parmi (n+k) divise (k parmi 2k)*(n parmi 2n)
J'aimerais surtout comprendre le raisonnement derrière et comment on arrive à ce raisonnement donc je préfère d'abord une indication plutôt que la solution .
Merci d'avance .

[Bilou92]

C'est vraiment trop compliqué ??

[Skullkid]

Bonjour, on peut découper la question 1 en deux parties :

Dans [2,n], combien y a-t-il
- d'entiers divisibles par p^k ?
- d'entiers divisibles par p^(k+1) ?

Si tu trouves ces nombres il te suffira de faire la différence pour obtenir le nombre d'entiers divisibles par p^k mais pas par p^(k+1). Si tu ne vois pas comment faire, essaye avec un exemple concret pour sentir ce qui se passe, genre pour n = 20, p = 2, k = 1.

[Bilou92]

Merci j'ai pu faire la question 1 .