Inéquation x^4

[suxlelo]

Bonjour à tous,
je viens de m'inscrire sur ce forum car je fais des révisions en vu de l'année prochaine et parfois je bloque un peu :hein:

Là je suis bloqué sur cet exercice:

x^4 -x^2 -6x + 10 > 0

Donc je voudrais bien trouver des racines évidentes pour avoir des valeurs critiques et donc analyser les différents cas ( si x<-1 par exemple alors l'inéquation devient...)

Mais là je suis bloqué, si quelqu'un pourrait me donner des indices...( j'ai un corrigé mais il n'y a que la réponse, c'est pour ça que viens vous embêter )

Bon merci d'avance :we:

[Sylviel]

Salut,

en fait il faut procéder à une étude de fonction je pense. Pour cela tu dois dresser le tableau de variation, ce qui nécessite de calculer le signe de la dérivée (qu'il faudrait peut être obtenir par tableau de variation aussi...). C'est un peu fastidieu mais pas bien compliqué.

[suxlelo]

Salut,

en fait il faut procéder à une étude de fonction je pense. Pour cela tu dois dresser le tableau de variation, ce qui nécessite de calculer le signe de la dérivée (qu'il faudrait peut être obtenir par tableau de variation aussi...). C'est un peu fastidieu mais pas bien compliqué.

Merci de ta réponse.

Effectivement ça peut marcher, le problème c'est que dans cette série on avait pas encore fait des études de fonctions avec les dérivées. En plus dans l'exercice c'est écrit inéquations(techniques analytiques),autrement dit, étudier les différents cas possibles

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si j'étais vous, j'essayerais de montrer que l'expression admet un minimum positif.

[Doraki]

x^4-x^2-6x+10 = (x²-1)² + (x-3)²

[suxlelo]

x^4-x^2-6x+10 = (x²-1)² + (x-3)²

ah! ça c'est ce que je cherchais! merci beaucoup!

[suxlelo]

Par contre leur réponse est nettement différente:

J'avais fait d'autres exos avec cette méthode analytique mais ici je ne comprends pas d'où ils sortent par exemple cas 1 x<=1 => On a x4 >= x2 et 10 -6x >= 0 (Pourquoi??? :mur: )

Voici le corrigé complet

Il faut considerer cinq cas:
1) x  <= 1 : On a x4>=  x2 et 10 - 6x >= 0 et l'inegalite est donc satisfaite.

2) -1 < x  1 : On a |x4 - x2 - 6x|<=  x4 + x2 + 6|x|<=  8. Ainsi x4 - x2 - 6x  >=-8 et
donc x4 - x2 - 6x + 10>=  2>=  0.

3) 1 < x < 3/2 On a x4 > x2 et 6x <= 9 et donc x4 - x2 - 6x + 10>=  1>=  0.

4) 3/2 < x <= 2 :On a x2>= 9/4 et x4-x2 = x2(x2-1)>= 9/4 * 5/4 = 45/16 >= 2. 
. En plus, 6x <= 12 et donc 10 - 6x  >=2 . Il s'en suit que x4 - x2 - 6x + 10 >= 0.

5) x > 2 : On a x4 - x2 = x2(x2 - 1)  3x^2>=  6x et donc x4 - x2 - 6x + 10 >= 10>=  0.
L'inegalite est donc satisfaite pour tout x dans R.

[Doraki]

Oui quand on sait pas trop quoi faire il suffit de découper R en des intervalles suffisemment petits où l'inégalité devient triviale


D'abord, si x <=0 alors x^4-x²-6x+10 >= x^4+10 >= 0

Ensuite tu sais bien que pour x grand, x^4 va être plus grand que tout le reste.
Par exemple on peut commencer par trouver un x assez grand pour que 6x <= 6x² et x^4 >= 7x², ce qui trivialise l'inégalité.
Pour x >= 3, tout ceci est vérifié.

Reste plus que [0;3]. Là il suffit de découper [0;3] en intervalles suffisemment petits jusqu'à ce que les minorations/majorations triviales de x^4,x² et x font que ça marche.

Par exemple, sur [0;1], 0-1²-6+10 >= 0 donc c'est bon
sur [1;2], 1-4-12+10 <=0. On a pris un pas trop grand
sur [1;3/2], 1-9/4-18/2+10 <=0. On a pris un pas trop grand
sur [1;4/3],1-16/9-24/3+10>= 0 donc c'est bon
etc.
Tu continues d'avancer à l'aveuglette petit à petit. Si ça marche pas c'est que t'as fait un pas trop grand, et si ça marche tu passes à la suite, jusqu'à arriver sur 3 et là t'as fini.

Comme x^4+10 et x²-6x sont continues, si le résultat est vrai et si f n'atteint pas 0 alors la méthode "découper à l'aveuglette et majorer/minorer grossièrement" va marcher à coup sûr.

(Si f atteint 0 et si le résultat annoncé est vrai, alors il y a un x tel que f'(x) = f(x) = 0, à partir de là tu vérifies aisément que ce n'est pas possible)

[suxlelo]

Oui quand on sait pas trop quoi faire il suffit de découper R en des intervalles suffisemment petits où l'inégalité devient triviale


D'abord, si x = x^4+10 >= 0

Ensuite tu sais bien que pour x grand, x^4 va être plus grand que tout le reste.
Par exemple on peut commencer par trouver un x assez grand pour que 6x = 7x², ce qui trivialise l'inégalité.
Pour x >= 3, tout ceci est vérifié.

Reste plus que [0;3]. Là il suffit de découper [0;3] en intervalles suffisemment petits jusqu'à ce que les minorations/majorations triviales de x^4,x² et x font que ça marche.

Par exemple, sur [0;1], 0-1²-6+10 >= 0 donc c'est bon
sur [1;2], 1-4-12+10 = 0 donc c'est bon
etc.
Tu continues d'avancer à l'aveuglette petit à petit. Si ça marche pas c'est que t'as fait un pas trop grand, et si ça marche tu passes à la suite, jusqu'à arriver sur 3 et là t'as fini.

Comme x^4+10 et x²-6x sont continues, si le résultat est vrai et si f n'atteint pas 0 alors la méthode "découper à l'aveuglette et majorer/minorer grossièrement" va marcher à coup sûr.

(Si f atteint 0 et si le résultat annoncé est vrai, alors il y a un x tel que f'(x) = f(x) = 0, à partir de là tu vérifies aisément que ce n'est pas possible)

Super!
Maintenant je peux continuer ma série l'esprit tranquille :we:
Grand merci

[chan79]

D'abord, si x = x^4+10 >= 0

salut
ça a l'air faux pour x=-10

[suxlelo]

salut
ça a l'air faux pour x=-10

(-10)^4 -(-10)^2 - 6(-10) +10 = 9970 > 0

[chan79]

(-10)^4 -(-10)^2 - 6(-10) +10 = 9970 > 0

bien-sûr, mais ce qui est faux, c'est 9970>=10010
cependant Doraki a résolu la question en donnant l'égalité
x^4-x²-6x+10=(x²-1)²+(x-3)²

[Elizabet]

Si , ; ;

[Dlzlogic]

Ce sujet est assez amusant.
D'un côté on prime l'utilisation des outils de calcul, d'un autre côté, on transforme une relation "facilement" transformable en relation positive à l'évidence.
Personnellement, avec les outils disponibles (tableur), j'ai observé que la relation était toujours positive. Reste évidemment à le démontrer.
Une simple observation de la courbe montre que il n'y a qu'au voisinage de x=3.3 que l'expression est minimum.
Donc, à mon avis, il suffit de montrer, et pas forcément de démontrer, qu'elle ne peut pas s'annuler, à ce voisinage.
Par ailleurs, les signes ">=" me gênent, alors qu'il s'agit de ">"
Bonne soirée.

[leon1789]

Une simple observation de la courbe montre que il n'y a qu'au voisinage de x=3.3 que l'expression est minimum.

Le minimum de est atteint au voisinage de x=1.3
Et pour x=1.3, la valeur de x^4 -x^2 -6x + 10 est environ 3.3661

[leon1789]

x^4-x^2-6x+10 = (x²-1)² + (x-3)²

Parfait ! Mais comment obtenir une telle décomposition ? (passer de droite à gauche de l'égalité, c'est facile, mais aller de gauche à droite, c'est plus difficile.)

Décomposer un polynôme positif en somme de carrés est un problème classique en géométrie algébrique réelle : il existe des algos pour cela. Quelqu'un a-t-il une référence abordable ?

[chan79]

Parfait ! Mais comment obtenir une telle décomposition ? (passer de droite à gauche de l'égalité, c'est facile, mais aller de gauche à droite, c'est plus difficile.)

Décomposer un polynôme positif en somme de carrés est un problème classique en géométrie algébrique réelle : il existe des algos pour cela. Quelqu'un a-t-il une référence abordable ?

J'ai simplement essayé d'arriver au résultat de Doraki

P n'a pas de racine réelle
il a deux racines complexes a+ib et c+id et leurs conjuguées
P(x)=(x-a-ib)(x-a+ib)(x-c-id)(x-c+id)=((x-a)²+b²)((x-c)²+d²)=((x-a)(x-c)+bd)²+(d(x-a)-b(x-c))²
P(x) se met donc sous la forme:
(x²+mx+p)²+(hx+k)² soit

on identifie

m=0
2p+h²=-1
hk=-3
p²+k²=10
on multiplie la ligne précédente par h²
h²p²+9=10h²
on remplace h² par -1-2p
(-1-2p)p²+9=10(-1-2p)
-p²-2p³+9=-10-20p
-2p³-p²+20p+19=0
Par chance ... -1 est solution de cette équation
on prend donc p=-1
on obtient h²=1
k²=9
hk=-3
si on prend k=3, alors h=-1
Il y a donc comme possibilité:
P(x)=(x²-1)²+(-x+3)²

Difficile de généraliser tout ça ... Il doit y avoir mieux

[leon1789]

J
(...)
Par chance ... -1 est solution de cette équation
(...)
Difficile de généraliser tout ça ... Il doit y avoir mieux

Bien joué ! (Un peu de chance, ok, mais qui ne tente rien n'a rien.)

Il y a des stratégies globales pour ce problème, mais je ne les connais pas.