Equations locales du champ électrostatique

par **capitaine nuggets** » 27 Juin 2013, 20:46

Bonjour, j'aimerais savoir, qualitativement, la signification physique des deux équations suivantes :

Ces équations portent-elles un nom ?

Merci d'avance pour vos éclaircissement :++:

par **Kikoo <3 Bieber** » 27 Juin 2013, 20:54

La divergence est la propension qu'a un flot de déplacer une certaine quantité de matière.

Le premier théorème que tu cites est le th. de flux divergence, et donne dans ce cas précis la valeur du flux de E à travers une surface fermée (théorème de Gauss).

par **capitaine nuggets** » 27 Juin 2013, 20:57

Kikoo <3 Bieber a écrit:La divergence est la propension qu'a un flot de déplacer une certaine quantité de matière.

Le premier théorème que tu cites est le th. de flux divergence, et donne dans ce cas précis la valeur du flux de E à travers une surface fermée (théorème de Gauss).

Salut !

Tu pourrais détailler s'il te plait, j'ai du mal à comprendre cette notion de divergence.
De même, j'ai du mal à comprendre la notion de flux...

par **Kikoo <3 Bieber** » 27 Juin 2013, 21:50

Il faut toujours voir le flux comme la quantification de "quelque chose" qui traverse une surface (au sens physique) : Le flux d'un champ sur une surface S est la somme sur cette surface de toute contribution du champ à travers la surface.

Pour te faire une idée, l'écoulement d'eau le long d'un tuyau est assimilable à un champ vectoriel.
Si on vient étudier l'écoulement au niveau de la section d'ouverture, le flux de l'eau à travers cette section est la somme sur un tel disque de particules animées d'une certaine vitesse qui viennent traverser le disque.
Si on veut mesurer un flux en prenant en compte le temps que met un certain volume de fluide à traverser l'ouverture, on calcule un débit.

par **Skullkid** » 27 Juin 2013, 21:52

Bonsoir, je suis pas tout à fait d'accord avec Kikoo <3 Bieber.

La divergence d'un champ en un point s'interprête plutôt comme la propension qu'a ce champ à diverger (!) à partir d'un petit volume centré autour du point considéré. Autrement dit, la divergence quantifie les sources du champ. Si div F > 0 au point M ça veut dire que F a tendance à "sortir" de M, c'est-à-dire que M peut être vu comme une source de F. De même, si div F < 0 en M, F a tendance à "être absorbé" par M, et si div F = 0 en M alors M ne produit ni n'absorbe F.

Ainsi l'équation de Maxwell-Gauss (ton équation 1) te dit que ce sont les charges électriques qui produisent le champ électrique et que plus tu as de charges, plus tu produis de champ (div E est proportionnel à la densité de charges rho, 1/eps0 est la constante de proportionnalité).

Dans la même veine, le rotationnel d'un champ en un pointest un vecteur qui décrit la propension du champ à tourner autour de ce point. La direction du rotationnel est celle de l'axe autour duquel le champ tourne et sa norme est d'autant plus grande que le champ tourne vite. Ton équation 2 est l'équation de Maxwell-Faraday dans le cas électrostatique (dans le cas général le membre de droite est non nul), elle te dit que le champ électrique ne tourne autour d'aucun point. Attention, ça ne veut pas dire que les lignes de champ sont des droites.

Quant au flux d'un champ à travers une surface c'est la quantité de champ qui traverse la surface.

par **Kikoo <3 Bieber** » 27 Juin 2013, 22:05

Pour ce qui est de la divergence, il s'agit selon les anglais (wiki) de :

Pour un volume p infinitésimal de V.

est le contour de ce volume V.
On peut voir ce théorème comme la formulation grâce au flux (dont on divise |V|) de la divergence. Il est expliqué sur la même page que la divergence est une grandeur scalaire qui mesure si un flux du champ vectoriel engendre une variation de volume !

Imaginons un ballon d'air contenant un gaz parfait. Si on le chauffe, le champ vectoriel adapté est celui des vecteurs vitesse des particules qu'il contient. Le flux du champ est positif car les particules ont tendance à pointer vers l'extérieur de la surface en causant une dilatation du ballon : Le volume augmente et alors la divergence du champ est positive.
Si au contraire nous refroidissons le ballon, les particules perdent en excitation, et la différence de pression va engendrer un flux rentrant vers le ballon (les particules de l'atmosphère ont tendance à "vouloir y rentrer" à cause de la dépression). Alors la divergence se comporte comme le flux, elle est négative.

PS : Salut Skull Kid ! J'ai sans doute mal interprété (dans mon second message) ce que j'ai pu lire par ci par là alors, ou peut-être l'ai-je mal formulé. Merci pour la rectification et pour les précisions !

par **Skullkid** » 27 Juin 2013, 22:38

Kikoo <3 Bieber a écrit:J'ai sans doute mal interprété (dans mon second message) ce que j'ai pu lire par ci par là alors, ou peut-être l'ai-je mal formulé. Merci pour la rectification et pour les précisions !

C'est plutôt la formulation oui ^^ Notamment qu'un champ n'est pas forcément associé à un transport de matière, et aussi que la divergence ne représente pas tant le transport du champ que son transport en dehors d'un certain volume, si le champ ne fait que passer à travers le volume sa divergence sera nulle.

Tiens, comme rien ne vaut un dessin moisi sous Paint, voilà à quoi ressemblent localement les coupables :

[CENTER]

[/CENTER]

La grosse boule noire c'est le petit volume qui entoure le point M. De gauche à droite et de haut en bas :

- divergence positive et rotationnel nul (champ électrique créé par une charge positive placée en M)
- divergence négative et rotationnel nul (champ électrique crée par une charge négative placée en M)
- divergence et rotationnel nuls (champ des vitesses d'un fluide qui s'écoule sagement)
- divergence positive et rotationnel non nul (l'opposé du champ des vitesses de l'eau près de l'évacuation d'un lavabo)
- divergence nulle et rotationnel non nul (champ des vitesses de ton café quand tu le touilles pas trop vite)

par **Luc** » 28 Juin 2013, 10:37

Bonjour,

sur les équations de Maxwell il y a ce document très intéressant. Je ne l'ai lu que récemment mais il m'aurait bien aidé en prépa.
http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/geometrie/maxwell.pdf

par **Kikoo <3 Bieber** » 28 Juin 2013, 10:41

Vu que ton lien ne fonctionne pas, je me suis essayé à du dessin rapide aussi :p

J'espère que c'est bien ce que tu as dessiné :

par **Skullkid** » 28 Juin 2013, 17:57

Mon lien marche pas ? S'curieux je vois l'image correctement, mais en effet tu as dessiné ce que je voulais ^^

Je retire ce que j'ai dit sur rotationnel nul = les lignes de champ ne ressemblent nulle part à des cercles, c'est faux, on peut facilement fabriquer un champ de rotationnel non nul et dont les lignes de champ sont des droites.

par **fma** » 28 Juin 2013, 18:09

Une version, ici

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,354475

par **herr_mulle** » 29 Juin 2013, 15:39

Je trouve les dessins de Skullkid superbe, je ne sais pas s'il y a des droits d'auteurs, mais je m'en resservirai. Merci.

par **capitaine nuggets** » 30 Juin 2013, 01:09

Merci beaucoup pour vos explications et illustrations !
Ca m'a beaucoup aidé à comprendre les opérateurs différentiels div et rot :+++:

Et merci pour le pdf luc :++:

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