Champ - Terre et Lune

[marmotte.com]

Etant élève de 1èreS, j'ai un exercice à faire mais je bloque déjà à la première question. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Sur la ligne joignant les deux astres Terre et Lune, il existe un point où les champs de gravitation lunaire et terrestre se compensent. On appelle M le point où les champs se compensent.
L'expression de la valeur du champ de pesanteur d'un astre est donné par l'expression suivant : gA = G x mA/l² où G est la constante de gravitation universelle, mA la masse de l'astre et l la distance entre le centre de l'astre et la position où l'on considère le champ gA .
Données :
La distance Terre-Lune : D = 3,8x10^8 m
La masse de la Lune : mL = 7,35x10^22 kg
La masse de la Terre : mT = 81 x mL


Qu'arriverait-il à un objet qui serait placé en ce point M ?

[Kikoo <3 Bieber]

Etant élève de 1èreS, j'ai un exercice à faire mais je bloque déjà à la première question. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Sur la ligne joignant les deux astres Terre et Lune, il existe un point où les champs de gravitation lunaire et terrestre se compensent. On appelle M le point où les champs se compensent.
L'expression de la valeur du champ de pesanteur d'un astre est donné par l'expression suivant : gA = G x mA/l² où G est la constante de gravitation universelle, mA la masse de l'astre et l la distance entre le centre de l'astre et la position où l'on considère le champ gA .
Données :
La distance Terre-Lune : D = 3,8x10^8 m
La masse de la Lune : mL = 7,35x10^22 kg
La masse de la Terre : mT = 81 x mL


Qu'arriverait-il à un objet qui serait placé en ce point M ?

Salut,

Il serait en équilibre entre la Terre et la Lune, jusqu'à ce que la Lune ait assez bougé par rapport à la Terre pour que le champ d'attraction en M change de sens, direction ou norme. Dans ce cas-là, l'équilibre est rompu, et l'objet va être attiré par la Lune ou la Terre.
Enfin cela dépend si M est fixe par rapport au réf barycentrique ou pas d'ailleurs, et dans des approximations suffisantes.

[marmotte.com]

Merci ! On me demande ensuite l'expression du champ de pesanteur lunaire en fonction de G (constante de gravitation universelle), mL (masse de la Lune), D (distance Terre-Lune) et d (distance Terre-Point M). J'ai trouvé GxmL/(D-d)² : est-ce bien ça ?

[Kikoo <3 Bieber]

Merci ! On me demande ensuite l'expression du champ de pesanteur lunaire en fonction de G (constante de gravitation universelle), mL (masse de la Lune), D (distance Terre-Lune) et d (distance Terre-Point M). J'ai trouvé GxmL/(D-d)² : est-ce bien ça ?

C'est bien ça oui, continue !

En rapport avec la première question, je suppose que M est fixe dans le ref barycentrique, donc si un objet arrive à se situer continuellement en M, il ne sera alors soumis à aucun des deux champs.

[marmotte.com]

Ensuite on me demande d' "écrire l'égalité des normes des champs de gravitation en M"
Alors là, je ne comprends même pas la question ...

[Kikoo <3 Bieber]

En M, le point matériel de masse m est soumis à deux champs attracteurs : celui de la Lune et celui de la Terre.
Alors comme le champ de la Terre a une norme en M de gT_M=G*mT/d² et que celui de la Lune a une norme de gL_M=G*mL/(D-d)² en M, il faut établir gT_M=gL_M

[marmotte.com]

Les questions suivantes sont :
e) Grâce à cette égalité, trouver une équation du second degré du type ad²+bd+c=0, où a, b et c sont des fonctions de D, mL et mT.

f)Les solutions de l'équation -5,9*10^24x² + 4,5*10^33x - 8,6*10^41 = 0 sont x1 = 322*10^6 et x2 = 457*10^6 . En déduire la valeur de d.


A la question concernant les normes, faut-il mettre uniquement gT_M=gL_M ?

[Kikoo <3 Bieber]

Les questions suivantes sont :
e) Grâce à cette égalité, trouver une équation du second degré du type ad²+bd+c=0, où a, b et c sont des fonctions de D, mL et mT.

f)Les solutions de l'équation -5,9*10^24x² + 4,5*10^33x - 8,6*10^41 = 0 sont x1 = 322*10^6 et x2 = 457*10^6 . En déduire la valeur de d.


A la question concernant les normes, faut-il mettre uniquement gT_M=gL_M ?

Non, tu remplaces par leurs expressions.
Puis ensuite tu développes, pour obtenir ton équation du second degré et tu réponds à la question f).

[marmotte.com]

En essayant de faire apparaître une équation, je trouve :
G*(mL-mT)/d^4-2*d^3*D+d²*D²

Je crois qu'il y a un petit problème ... ^^

[Black Jack]

En essayant de faire apparaître une équation, je trouve :
G*(mL-mT)/d^4-2*d^3*D+d²*D²

Je crois qu'il y a un petit problème ... ^^

Dans quoi t'embarques-tu ?

Avec les notations de Kikoo <3 Bieber, tu as immédiatement :

G*mT/d² = G*mL/(D-d)²

soit donc mT/d² = mL/(D-d)²

Et tu sais que mT = 80.mL et que D = 3,8.10^8 m

Tu dois donc trouver d avec un calcul de 1 ligne.

:zen:

[marmotte.com]

Je suis bloquée, je trouve :

d² = 80d² -608*10^8*d + 1,1552*10^19

[Black Jack]

Je suis bloquée, je trouve :

d² = 80d² -608*10^8*d + 1,1552*10^19

M'enfin comme dit Gaston.
On peut calculer directement, mais je vais le montrer en détaillant très fort ...

mT/d² = mL/(D-d)²
Et tu sais que mT = 81.mL et que D = 3,8.10^8 m

81.mL/d² = mL/(3,8.10^8 - d)²
81/d² = 1/(3,8.10^8 - d)²
et comme 3,8.10^8 - d > 0, on prend la racine carrée des 2 membres --->

9/d = 1/(3,8.10^8 - d)
produit en croix
et puis d = ... m

:zen:

[marmotte.com]

Donc j'ai trouvé d= 34,2*10^7 Ca c'est pour la réponse f) ?
Mais où est mon équation du second degré là-dedans ?

[marmotte.com]

Et quel rapport avec la formule de la question f ?

f)Les solutions de l'équation -5,9*10^24x² + 4,5*10^33x - 8,6*10^41 = 0 sont x1 = 322*10^6 et x2 = 457*10^6 . En déduire la valeur de d.

[Kikoo <3 Bieber]

Ne vois-tu pas d'équation du second degré avec ce qu'a fait Black Jack ?

Reprenons sans remplacer par les valeurs numériques :

G*mT/d² = G*mL/(D-d)²

On simplifie par G de chaque côté et on fait un simple produit en croix pour ne plus se retrouver avec des fractions :

mT*(D-d)² = mL*d²

On développe :

mT*D² - 2DmT*d + mT*d² = mL*d²

On regroupe les termes affectés de leurs coefficients pour normaliser l'expression :

(mT-mL)*d² - 2DmT*d + mT*D² = 0

Nous obtenons bien quelque chose de la forme ax² + bx + c = 0

Je pense après tout que tu as oublié que l'inconnue est ici d...

[marmotte.com]

J'ai donc
(81*7,35*10²²-7,35*10²²)*d²-2*3,8*10^8*81*7,35*10²²*d + 81*7,35*10²²*(3,8*10^8)² = 0

Comment ne pas s'y perdre là dedans ...

[marmotte.com]

C'est bon, j'ai trouvé la même équation que dans le f), merci pour tout ! Bonne soirée !