Algebre !

[ju2307]

bonjour,
Je suis bloquée sur un exercice d'algèbre ...


soit V=C3={p(z)=a3z^3+a2z²+a1z+a0 avec a0a1, a2,a3 appartenant a c3} l'espace des polynômes complexes de degré <=3. on considère les deux application suivantes définies sur V a valeur dans V .

A(p(z))=z^3*p(1/z) et B(p(z))=z*d²p(z)/d²z

1) montrer que A et B sont deux endomorphisme linéaire de V.

2) trouver A² et B^3. en déduire les polynômes minimaux respectif mA et mB. déterminer ker B et ker (A-Id).

3) quels sont les polynômes caractéristiques de PA et PB de ces endomorphismes ? justifier votre réponse par un calcul puis sans le calcul.

4) les endomorphismes sont ils diagonalisables ? justifier

j'ai fait la question 1, et j'ai trouver A² et B^3, mais je n'arrive pas a comprendre comment on trouve les polynômes minimaux... ni comment on en déduit les noyaux ..


Merci de votre aide ! :happy2:

[jlb]

bonjour, tu as trouvé quoi?

[ju2307]

bonjour, tu as trouvé quoi?

Pour A2 j'ai trouver A2= a3^2+a2^2*z^2+a1^2*z^4+a0^2

B^3 = 216a3^3*z^6+8a2^3*z^3

[jlb]

Pour A2 j'ai trouver A2= a3^2+a2^2*z^2+a1^2*z^4+a0^2

B^3 = 216a3^3*z^6+8a2^3*z^3

Bonsoir, reprends tes calculs, c'est pour ça que tu bloques.

A(p(z))=a3 + a2.z + a1.z² + a0.z^3

donc A²(p(z))= z^3(a3 + a2.1/z +a1.1/z² + a0.1/z^3)=p(z) donc A²=Id!!

pareil pour B vérifie tes calculs, cela donne un truc simple!!

[ju2307]

Bonsoir, reprends tes calculs, c'est pour ça que tu bloques.

A(p(z))=a3 + a2.z + a1.z² + a0.z^3

donc A²(p(z))= z^3(a3 + a2.1/z +a1.1/z² + a0.1/z^3)=p(z) donc A²=Id!!

pareil pour B vérifie tes calculs, cela donne un truc simple!!

bonjour,

j'arrive déjà pas a trouver votre A²,

j'arrive a A²=(a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3)²

=(a3²+a2².z²+a1².z^4+a0².z^6)

=z^3 ( a3².1/z^3 +a2².1/z+a1².z+a0².z^3)

du coup j'arrive pas a retrouver p(z),pourquoi ne pas mettre de ² au a1,a2,a3,a0 ?

Pour B du coup je suis bloquer, j'arrive a B^3= (6a3.z²+2a2.z)^3
(hypothese) = 6^3.a3^3.z^6 + 2^3.a2^3.z^3)
= ?

[Robic]

j'arrive a A²=(a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3)²

Houla, attention, stop, ne va pas plus loin !

A², ça ne veut pas dire AxA, mais A(A).

Donc A²(P(z)) n'est pas égal à (a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3)x(a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3) mais à A(a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3).

[ju2307]

Houla, attention, stop, ne va pas plus loin !

A², ça ne veut pas dire AxA, mais A(A).

Donc A²(P(z)) n'est pas égal à (a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3)x(a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3) mais à A(a3+a2.z+a1.z²+a0.z^3).

effectivement ça change tout ! je fais de même pour B^3 ?


B(B(B))

je calcule B(B)=B(6a3.z²+2a2.z)

après je pose p(z) =6a3.z²+2a2.z , je calcule la dérivée seconde, je trouve d²p(z)=12a3
donc B(B)=z.12a3
=12a3.z

pour finir je fais B(12a3.z)
par le même procédé (avec p(z)=12a3.z) je trouve la dérivée seconde nulle donc B(12a3.z)=0

donc B^3p(z) =0

[Robic]

je fais de même pour B^3 ?

Tu dois te douter de la réponse !

Une opération a un sens en fonction des objets sur qui on applique l'opération. Par exemple AxB, c'est quoi ?
- si A et B sont des nombres, c'est la multiplication usuelle ;
- si A et B sont des polynômes, c'est la multiplication de polynômes ;
- si A et B sont des transformations, c'est la composée.

Trois types d'objets différents, trois opérations différentes.

En fait, il ne faut pas confondre :
- A(P(z))² : carré du nombre complexe A(P(z)) (au sens de la multiplication dans les nombres complexes) ;
- A(P)² : carré du polynôme A(P) (au sens de la multiplication des polynômes) ;
- A² : carré de la transformation A (au sens de la composition de transformations).

L'énoncé parle de A² et B^3, pas de A(P)² et de B(P(z))^3 (par exemple), donc on ne peut pas se tromper.

[ju2307]

Tu dois te douter de la réponse !

Une opération a un sens en fonction des objets sur qui on applique l'opération. Par exemple AxB, c'est quoi ?
- si A et B sont des nombres, c'est la multiplication usuelle ;
- si A et B sont des polynômes, c'est la multiplication de polynômes ;
- si A et B sont des transformations, c'est la composée.

Trois types d'objets différents, trois opérations différentes.

En fait, il ne faut pas confondre :
- A(P(z))² : carré du nombre complexe A(P(z)) (au sens de la multiplication dans les nombres complexes) ;
- A(P)² : carré du polynôme A(P) (au sens de la multiplication des polynômes) ;
- A² : carré de la transformation A (au sens de la composition de transformations).

L'énoncé parle de A² et B^3, pas de A(P)² et de B(P(z))^3 (par exemple), donc on ne peut pas se tromper.

Merci pour ces précisions !

En ce qui concerne les polynômes minimaux comment je peux les trouver ?!
je sais que c'est un polynôme qui annule ma transformation !

donc pour B le polynôme minimal c'est B^3 ? (comme B^3 =0)
mais pour A qu'est ce que c'est ?! on sait que A² =Id mais après je suis bloquer.

[jlb]

X²-1 est annulé par A donc c'est un multiple du polynôme minimal: calcule A-I, A+I si aucun des deux est nul, le polynôme minimal est X²-1

Pour B les candidats sont X,X² et sinon c'est X^3

voila, voila, bon courage.

[ju2307]

X²-1 est annulé par A donc c'est un multiple du polynôme minimal: calcule A-I, A+I si aucun des deux est nul, le polynôme minimal est X²-1

Pour B les candidats sont X,X² et sinon c'est X^3

voila, voila, bon courage.

merci bien de votre aide ! :id: