Résolution d'équation de degré 3

[shili0]

salut,
y a il une formule claire et simple pour résoudre une équation de degrés 3.
j'ai l'équation suivante 2K^3-K^2-K-a=0
j'ai besoin de trouver ses racines afin de les implémenter dans un programme informatique

[capitaine nuggets]

Salut !

Oui il existe des formules comme par exemple, celles de Cardan :
voir ici.

[shili0]

je ne cherche que les racines entières de cette équation pas les racines réelles et complexes

[chan79]

je ne cherche que les racines entières de cette équation pas les racines réelles et complexes

salut
si a est entier, les racines entières, s'il y en a, sont forcément des diviseurs de a puisque
K(2K²-K-1)=a

[fma]

je ne cherche que les racines entières de cette équation pas les racines réelles et complexes

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2K%5E3-K%5E2-K-a%3D0

[Dlzlogic]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2K%5E3-K%5E2-K-a%3D0

Je trouve un peu dommage de répondre par un lien sur un calculateur automatique.
Apparemment, il s'agit d'un exercice, donc la réponse de chan79 n'a pas besoin de surcharge.

[fma]

Je trouve un peu dommage de répondre par un lien sur un calculateur automatique.
Apparemment, il s'agit d'un exercice, donc la réponse de chan79 n'a pas besoin de surcharge.

Ok, mais vu la complexité des solutions...

[shili0]

selon vous parmi les méthodes que vous avez cités y a il une seule que quelqu'un peut me faire expliquer et qu'elle répondra a mes besoins .
je veux trouver les racines de cette équation 2K^3-K^2-K-a=0
avec a résolu par une autre formule

[Black Jack]

Guère le choix que d'utiliser Cardan.

2K^3-K^2-K-a=0
K^3 - K^2/2 - K/2 - a/2=0

Poser K = x + 1/6

x² + x/3 + 1/36

x³ + x²/2 + x/12 + 1/216 - x²/2 - x/6 - 1/72 - x/2 - 1/12 - a/2 = 0

x³ - 7x/12 - 5/54 - a/2 = 0

p = -7/12 ; q = - (5/54 + a/2)

(q/2)² + (p/3)³ = (5/54 + a/2)²/4 - 343/46656

a) Si (5/54 + a/2)²/4 - 343/46656 > 0
Donc (5/54 + a/2)²/4 > 343/46656
(5/54 + a/2)² - 343/11664 > 0
donc pour a 2*[V(343/11664) - 5/54]

Il y a alors une seule solution x réelle :


dans laquelle : p = -7/12 ; q = - (5/54 + a/2)

ce qui donne pour l'équation initiale, une seule solution réelle :


*****
Je te laisse traiter les cas restants, je donne (aux erreurs près) ce qu'on devrait trouver :

b) Si (5/54 + a/2)²/4 - 343/46656 < 0, il y a 3 solutions réelles à x³ - 7x/12 - 5/54 - a/2 = 0

Ces solutions sont :




avec p = -7/12 ; q = - (5/54 + a/2)

et on trouve les 3 solutions réelles de 2K^3-K^2-K-a=0 par
K1 = 1/6 + x1
K2 = 1/6 + x2
K3 = 1/6 + x3
***
c) Si (5/54 + a/2)²/4 - 343/46656 = 0

Il y a alors une racine double
Il y a aussi une 3ème racine :
avec p = -7/12 ; q = - (5/54 + a/2)


et on trouve les solutions réelles de 2K^3-K^2-K-a=0 par
K1 = K2 = 1/6 + x1
K3 = 1/6 + x2
*****

Toutes erreurs incluses évidemment.

:zen:

[chan79]

je ne cherche que les racines entières de cette équation pas les racines réelles et complexes

Pas évident d'en trouver sans programmer, même si a est entier
il y a quand même la solution x=2 pour a=10

[chan79]

je ne cherche que les racines entières de cette équation pas les racines réelles et complexes

Est-ce que a est un nombre entier ?
Si oui (et excepté pour a=0), je trouve qu'il y a comme unique solution:



C'est un nombre réel qui peut être entier dans certains cas ..., par exemple si a=10, on a x=2

[Black Jack]

shili0 devrait écrire un énoncé complet et pas le donner par bribes et morceaux.

S'il s'agit de trouver uniquement les racines entières pour l'équation 2k³ - k² - k - a = 0 alors c'est trivial...
Quelques lignes de programmation.

- Si a = 0, les solutions sont k = 0 et k = 1
- Si a n'est pas entier : pas de solution (car des solutions entières pour l'équation ne sont possibles (immédiat à montrer) que si a est entier)

Pour a différent de 0 mais entier:
- on calcule A = ent((a/2)^(1/3)) + 1
- on calcule B = 2A³ - A² - A
Si B = a alors la solution unique à l'équation est k = A
Si B est différent de a, alors il n'y a pas de solutions à l'équation.
*****

Exemples numériques :

a) a = 21,2 ---> pas entier et donc pas de solution.

b) a = 6511
On calcule A = ent((6511/2)^(1/3)) + 1 = 15
on calcule B = 2A³ - A² - A = 2*15³ - 15² - 15 = 6510
B est différent de a ---> pas de solution.

c) a = 27048
On calcule A = ent((27048/2)^(1/3)) + 1 = 24
on calcule B = 2A³ - A² - A = 2*24³ - 24² - 24 = 27048
B est égal à a et donc il y a une et une seule solution à l'équation, cette solution est K = A = 24

d) a = -40068
On calcule A = ent((-40068/2)^(1/3)) + 1 = -27
on calcule B = 2A³ - A² - A = 2*(-27)³ - (-27)² + 27 = -40068
B est égal à a et donc il y a une et une seule solution à l'équation, cette solution est K = A = -27

d) a = -40069
On calcule A = ent((-40069/2)^(1/3)) + 1 = -27
on calcule B = 2A³ - A² - A = 2*(-27)³ - (-27)² + 27 = -40068
B est différent de a ---> pas de solution.

:zen:

[shili0]

salut les amis ,je vous remercie sur vos réponses.
puisque mon énoncé n'a pas été compris comme il faut je vais répéter l’énonce avec plus de précision .
je veux savoir quelles sont les racines (ou le seul racine) entière positifs (appartenant a N) de cette équation de degré 3 :
2k³ - k² - k - a = 0
avec a est un donné qui change a chaque mais c'est entier positif qui est égale par exemple 2 ou 5 ou 35 ou autre
(je veux trouver enfin le nombre positif k)
agréer mes sincères salutation a tout les membres de ce forum.

[Sylviel]

Chan t'as déjà répondu sur le sujet. Tu appliques la formule de Cardan qui te donneras
les racines, puis tu vérifie si oui ou non ces racines sont entières.

[Black Jack]

Il me semble avoir répondu, pas besoin du canon de Cardan pour tuer une mouche :

- Si a = 0, les solutions sont k = 0 et k = 1
- Si a n'est pas entier : pas de solution (car des solutions entières pour l'équation ne sont possibles (immédiat à montrer) que si a est entier)

Pour a différent de 0 mais entier:
- on calcule A = ent((a/2)^(1/3)) + 1
- on calcule B = 2A³ - A² - A
Si B = a alors la solution unique à l'équation est k = A
Si B est différent de a, alors il n'y a pas de solutions à l'équation.

C'est élémentaire. (et facile à démontrer si on le veut, mais ce n'est pas demandé).

:zen:

[shili0]

MERCI LES AMIS :we: :ptdr: