Résolution d'équation du second degré à trois inconnues.

[Epik34]

Bonjour.

Cela va peut-être vous paraître étrange de voir un problème à priori si simple.
Seulement il ne s'agit pas d'un système d'équations mais bien d'une seule équation. Voici le sujet:

Résoudre dans N l'équation x^2+y^2=7z^2.

J'ai creusé mais rien n'y fait: je ne sait pas comment aborder cet exercice...
J'ai voulu jouer sur la parité des inconnues:

J'ai d'abord supposé que z était impair.
Je pose z=2w+1;
Il y a deux cas pour x et y (qui reviennent en fait au même), à savoir x pair et y impair ou l'inverse.
Je pose x=2u et y=2v+1.
J'obtiens alors
4u^2+4v^2+4v+1=7(4w^2+4w+1)
=> 4(u^2+v^2+v)=28w^2+28w+6
Ce qui est impossible dans N.

Donc z est pair.
Il y a encore deux cas pour x et y, à savoir x et y pair ou x et y impair.
Si x et y sont impair on arrive à une contradiction:
Je pose x=2u+1, y=2v+1, et z=2w.
J'obtiens alors
4u^2+4u+1+4v^2+4v+1=28w^2
=> 4(u^2+v^2+u+v)=26w^2
Ce qui est impossible dans N.

Tout ce que j'ai c'est donc que x, y et z sont pairs et que x^2+y^2 est un multiple de 14...

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce problème, je lui en serais très reconnaissant

[busard_des_roseaux]

Bjr,

soit p un diviseur premier de et , alors p divise x , y et z car 7 n'a pas de facteur carré.

on peut donc supposer, en préalable à ta discussion que (x,y)=1
donc l'équation n'a pas de solution.

[Doraki]

Une petite étude de x²+y² modulo 7 dit que la seule façon d'avoir x²+y² multiple de 7 est si 7 divise x et y.

A partir de là on en déduit que 7 divise z, et donc qu'on peut tout diviser par 7 et recommencer. Donc c'est impossible.

[Epik34]

Je pense avoir trouvé une réponse (on me l'a soufflée en fait).
Grâce à cette étude modulo 7, on voit qu'on a une équation du type
x^2+y^2=0 (modulo 7), avec x^2 et y^2 prenant leur valeur dans {0,1,2,4}, qui est la liste des carrés modulo 7.
Dans Z/7Z, la seule possibilité est x^2=0 et y^2=0 (toujours modulo 7).
D'où x et y eux-même congrus à 0 modulo 7 (toujours d'après la liste des carrés ou bien simplement parce que 7 est premier).

Donc ce n'est pas que c'est impossible, mais qu'il y a une infinité de solutions:

si on prend x un multiple de 7 et y un autre multiple de 7, on pourra toujours trouver un z tel que x^2+y^2=7z^2.

[yos]

on peut donc supposer, en préalable à ta discussion que (x,y)=1
donc l'équation n'a pas de solution.

Je comprends pas l'argument final.

Je pense avoir trouvé une réponse (on me l'a soufflée en fait).
Grâce à cette étude modulo 7, on voit qu'on a une équation du type
x^2+y^2=0 (modulo 7), avec x^2 et y^2 prenant leur valeur dans {0,1,2,4}, qui est la liste des carrés modulo 7.
Dans Z/7Z, la seule possibilité est x^2=0 et y^2=0 (toujours modulo 7).
D'où x et y eux-même congrus à 0 modulo 7 (toujours d'après la liste des carrés ou bien simplement parce que 7 est premier).

Tu pourrais lire les réponses non? Celle de Doraki par exemple.

Donc ce n'est pas que c'est impossible, mais qu'il y a une infinité de solutions:
si on prend x un multiple de 7 et y un autre multiple de 7, on pourra toujours trouver un z tel que x^2+y^2=7z^2.

Tu devrais même les lire jusqu'au bout.

On peut achever autrement que par une descente infinie en évoquant les valuations 7-adiques des deux membres : l'une est paire, l'autre impaire.

[Epik34]

Yos, je trouve ton ton dédaigneux assez peu à propos.

J'ai juste eu une réponse d'ailleurs que j'ai postée ici pour la soumettre aux critiques, mais certainement pas de ce genre là.
Evidemment que j'ai lu les autres réponses et effectivement elles sont similaires.
Mais moi je vais avoir à justifier mes conclusions alors je préfère autant les énoncer de différentes façons pour être sûr de les comprendre.

Ce qui d'ailleurs n'est pas certain:

On peut achever autrement que par une descente infinie en évoquant les valuations 7-adiques des deux membres : l'une est paire, l'autre impaire.

Qu'est-ce?

Merci quand même pour ton intervention. Et éventuellement, merci d'avance pour ta réponse.

[yos]

Désolé pour le ton, mais ce que tu dans ton message 4 est aussi ce que te dit Doraki 45 minutes avant. Cette attitude est très répandue sur le forum (question, réponses, aucune suite) alors je râle un peu.
Donc si tu as compris cette première partie (x^2+y^2=7z^2 entraîne 7|x, 7|y) il te reste à achever comme le dit Doraki : pose x=7x', y=7y', remplace, simplifie, tu vois alors que 7|z, tu poses z=7z', tu remplaces à nouveau, et tu es ramené à une autre solution (x',y',z') de la même équation, mais 7 fois plus petite en quelque sorte. Rien n'empêche de recommencer (éternellement), sauf qu'il n'y a pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels.

[leon1789]

(...) donc l'équation n'a pas de solution.

:hein:

Une petite étude de x²+y² modulo 7 dit que la seule façon d'avoir x²+y² multiple de 7 est si 7 divise x et y.

A partir de là on en déduit que 7 divise z, et donc qu'on peut tout diviser par 7 et recommencer. Donc c'est impossible.

si si, c'est possible : un nombre qui est divisible une infinité de fois par 7 est nul !

Donc l'argument (très bon !) de Doraki montre que seul le triplet (0,0,0) est solution (dans Z^3)

[leon1789]

Donc ce n'est pas que c'est impossible, mais qu'il y a une infinité de solutions:

si on prend x un multiple de 7 et y un autre multiple de 7, on pourra toujours trouver un z tel que x^2+y^2=7z^2.

:doh: As-tu pris au moins un exemple de ce que tu annonces ?
avec x=y=7 par exemple ... :marteau:

[Epik34]

Oui, oui, j'ai bien vu que c'était n'importe quoi (avec x=y=7, z^2=14, impossible dans N).
Et j'ai compris pourquoi ça ne marche pas (merci Yos), sauf dans le cas de (0,0,0).

Merci pour vos réponses.

[leon1789]

Oui, oui, j'ai bien vu que c'était n'importe quoi (avec x=y=7, z^2=14, impossible dans N).

x=y=7 donne z^2=98 (tout aussi impossible dans N)