Logarithme néperien

[jio2]

Bonjour,
On cherche a comparer n^n+1 et (n+1)^n pour savoir lequel est le plus grand .

Voici mes recherches :
ln(n^(n+1))=(n+1)ln(n)
ln((n+1)^n)=nln(n+1)
J'ai voulu etudier la position relative des deux fonctions
F(x):(x+1)lnx
g(x): xln(x+1)
Je trouve :
g(x)-f(x) = xln(x+1)-xln(x)-ln(x)=xln((x+1)/x)-lnx
On ne peut rien faire avec ca. Je décide de calculer la dérivée pour calculer les variations et ainsi trouver le signe .
h'(x)=ln((x+1)/x)-1/x
Je cherche a résoudre h'(x)=0 mais je suis bloqué :/

Cordialement et merci pour les propositions qu'il y aura.

[XENSECP]

Je suis pas tout à fait d'accord sur la dérivée mais j'imagine que c'est un bon moyen de faire pour résoudre ton énigme...

[jio2]

D'accord , deja c'est un bon point .
Ah oui je me suis trompé sur la derivée !
Je la recommence.

[jio2]

En effet c'est mieux !
h'(x) = ln ((x+1)/x) ?

[jio2]

Par contre quand je veux faire h'(x)=0 : Je n'y arrive toujours pas .
ln((x+1)/x)=0
(x+1)/x=exp(0)=0
x+1=x ???

[Cheche]

Bonjour :) Alors

On pose :



On souhaite étudier le signe de h(x) = f(x) - g(x) :









- Ton terme de gauche est négatif et ton terme de droite est postif :(
- Connais-tu des inégalités sympa sur le logarithme népérien pour détourner les problèmes ?

[jio2]

C'est la première année que l'on voit les logarithmes , on ne connait donc que les bases ...
Toi tu as pris f(x)-g(x) . Moi j'avais fait l'inverse ( g(x) -f(x) ) .
Et je trouve une dérivée plus simple mais qui au final ne marche pas.
Apres avec ta dérivée , il faudrait arrivée a la factoriser ... Mais comment ?

[Cheche]

Tu ne peux pas factoriser ici, il faut utiliser les inégalités connus.

On dit que la fonction Logarithme est concave, cela veut dire que la courbe est toujours en dessous des tangentes.

Or la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour équation :

Conclusion :

Pour tout
Je pense que tu devrais pouvoir conclure avec cette nouvelle propriété :

[jio2]

Le problème est que l'on a jamais vu cette propriété en cours . Je ne peux donc pas inventer cette propriété ...
En plus il faudrait montrer que c'est seulement a partir d'un point ( environ 3) que n^n+1 est plus grand que (n+1)^n, non ?

[Cheche]

Nous sommes juste entrain de prouver que la fonction est croissante. (ce qui me paraît correctement). Je pense que tu as le droit d'utiliser :

[jio2]

Pourquoi la formule que tu as ecrite prouve que la fonction est croissante ?
Aussi , on a jamais vu que la fonction logarithme était "concave" :/

[Cheche]

Pourquoi la formule que tu as ecrite prouve que la fonction est croissante ?

Car tu vas surement pouvoir prouver que la dérivée est positive.

Aussi , on a jamais vu que la fonction logarithme était "concave" :/

Et bien, dans le cas contraire, je ne sais pas comment t'aider.