Géométrie Vectorielle

[Jeandu57]

Bonjour à tous.

Je souhaite approfondir mes connaissances en géométrie vectorielle avec cet exercice : http://up.sur-la-toile.com/i18HT


J'ai débuté l'exercice :

PARTIE A

1) ED = BE = BD = racine(2) donc BDE est équilatéral.

J'aurai besoin d'aide dans un premier temps pour la question suivante. Si vous pouviez m'aiguiller.

Merci d'avance. Jean.

[annick]

Bonjour,
pour la suite, si j'étais toi, j'écrirai les coordonnées de tous les points dans le repère que l'on te donne.
je calculerai ensuite les coordonnées des vecteurs OI et OE, ce qui permet de trouver les coordonnées de I.
Ensuite, je calculerai les coordonnées des vecteurs AI et AG et si tu peux montrer que AI=kAG (en vecteurs), alors, A,I et G sont alignés.

[Jeandu57]

D'accord je comprends. Je trouve OE ( -0.5 , -0.5 , 1 ) et OI ( xI -0.5 , yI - 0.5 , zI - 0.5 )

On sait que OI = 1/3 OE donc OI ( -1.5 , -1.5 , 3 ) ( J'ai un doute sur le trois .. )

On aurait donc le point I ( -1 , -1 , 3 )

J'ai du faire une faute ..

[annick]

Effectivement, il y a des erreurs :
pour moi 0(1/2,1/2,0) et E(0,0,1) soit I(1/3,1/3,1/3),G(1,1,1)

Donc :

AI(1/3,1/3:1/3)
AG(1,1,1)

Soit AI=1/3(AG)

[Jeandu57]

Je suis d'accord pour O, E et G. Comment faites-vous pour trouver I ?

[annick]

Comme tu avais commencé à le faire, mais avec les bonnes valeurs :

OI=1/3OE

OI(xI-1/2,yI-1/2,zI)
OE(-1/2,-1/2,1)
1/3 OE(-1/6,-1/6,1/3)

xI-1/2=-1/6 xI=-1/6+1/2=2/6=1/3
yI-1/2=-1/2 yI=1/3
zI=1/3

Soit I(1/3,1/3,1/3)

[Jeandu57]

D'accord j'ai compris la démarche, j'avais juste un problème de valeur !

Du coup, avec ces valeurs là, on trouve bien AI=1/3(AG), donc les points A, I et G sont alignés.


Pour la partie B, si k=1/3, on retrouve l'expression 1/3 (AG) = AI donc Mk et I seraient confondus ? Du coup, P(1/3) serait le plan (EBD) et Nk le point B, commun au plan (EBD) et la droite (BC) ?

[Jeandu57]

Si je cherche la distance M(1/3)N(1/3) :

M(1/3) équivaut au point I donc, a pour coordonnées ( 1/3 , 1/3 , 1/3 )
N(1/3) équivaut au point B donc, a pour coordonnées ( 1,0,0 )

M(1/3)N(1/3) = rac [ (xM - xN)² + (yM - yN)² + (zM - zN)² ] = [ racine(6) / 3 ]

Pour la question 2.a) , je suis entrain de chercher ..

[Jeandu57]

2.a) Pour la droite (BD) :

B (1,0,0 ) et BC ( 0,1,0 )


(BC) a pour représentation paramétrique :

x=1
y=t
z=0


Pour le plan Pk je n'ai pas d'idées, pourriez vous m'aider ?

[annick]

D'accord pour M1/3=I et N1/3=B et M1/3N1/3=(1/3)V6

[annick]

Tu n'as pas donné les coordonnées de Mk.

[annick]

D'accord pour la représentation paramétrique de la droite (BC)

Pour le plan Pk, tu sais qu'il est parallèle à (BDE) donc tu peux chercher le vecteur orthogonal à (BDE)
Ensuite Pk a pour équation :

ax+by+cz+d =0 avec un vecteur directeur(a,b,c) que tu as trouvé plus haut et qui passe par Mk, ce qui te permet de trouver d.

Nk est ensuite l'intersection entre le plan Pk et (BC), donc tu vas voir que l'on trouve facilement ce que l'on te propose si ce que tu as fait précédemment est juste.

[Jeandu57]

Ah oui, j'ai oublié la question 2.a) ! Je ne vois pas comment y répondre d'ailleurs ..

Je ne trouve pas de vecteur orthogonal à (BDE) .. J'aurai tendance à dire le vecteur IG mais je ne sais pas comment le justifier ..

[annick]

Pour les coordonnées de Mk :

AMk=kAG

Donc :

(xk,yk,zk)=k(1,1,1)

xk=1 yk=1 zk=1

Pour le plan BDE, son équation est de la forme ax+by+cz+d=0 Son vecteur normal, par définition a pour coordonnées (a,b,c)
Les coordonnées de B,D et E doivent vérifier l'équation de ce plan.

a+d=0
b+d=0
c+d=0

Donc a=b=c=-d

donc ce peut être x+y+z-1=0

Le vecteur normal est (1,1,1)

Le plan Pk est parallèle à (BDE), donc il a le même vecteur normal

son équation est donc x+y+z+d'=0

Mk appartient à ce plan, donc les coordonnées de Mk vérifient l'équation du plan, soit :

k+k+k+d'=0 donc d'=-3k

L'équation du plan Pk est donc x+y+z-3k=0

L'intersection de ce plan avec (BC) correspond au système suivant :

x+y+z-3k=0
x=1
y=t
z=0

Soit 1+t-3k=0 d'où t=3k-1

Les coordonnées de Nk sont donc (1,3k-1,0). C'est ce que l'on te demandait de trouver dans l'énoncé.

[Jeandu57]

Pour les coordonnées de Mk :

AMk=kAG

Donc :

(xk,yk,zk)=k(1,1,1)

xk=1 yk=1 zk=1

Je ne comprends pas comment vous arrivez à 1. On ne s'occupe pas du k devant les coordonées de AG ?

Les coordonnées de B,D et E doivent vérifier l'équation de ce plan.

a+d=0
b+d=0
c+d=0

Je suis d'accord avec la phrase, mais je ne comprends pas l'application que vous faites en dessous, pourriez vous me l'expliquer ?