Geometrie vectorielle Ts

[soline1995]

bonjour j'ai besoins d'aide pour un DM pouvez vous m'aider svp :hum:

énoncé :
On se propose d’étudier une modélisation d'une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l'espace.
L'espace est rapporté a un repère (o;i;j;k) d'unité 1km.
Le plan (o;i;j) représente le sol.
Les deux "routes aériennes" a contrôler sont représentées par deux droites d1 et d2 dont on connait des représentations paramétriques:
d1: x=3+a d2: x=0.5+2b
y=9+3a y=4+b
z=2 z=4-b

question:
1) a) indiquer les coordonnées d'un vecteur u1 directeur de la droite d1 et d'un vecteur u2 directeur de la droite d2

b) prouver que les droites d1 et d2 ne sont pas coplanaires.

2) on veut installer au sommet S de la tour de controle de coordonnées S (3;4;0.1), un appareil de surveillance qui emet un rayon representé par une droite notée r.
P1 est le plan contenant S et d1, et P2 le plan contenant S et d2.

a) montrer que d2 est secante a P1
b) montrer que d1 est secante a P2
c) un technicien affirme qu'il est possible de choisir la direction de r pour que cette droite coupe chacune des droites d1 et d2.
cette affirmation est-elle vrai ?
JUSTIFIER LA REPONSE

J'ai reussi la question 1)a) et b) les resultats sont les suivants:
1)a) u1(1;3;0) et u2 (2;1;-1)
b) il n'existe pas de nombre reel k tel que u1=ku2 donc les vecteur ne sont pas colineraire donc les droite d1 et d2 ne sont pas coplanaire

Pour le 2) je n'y arrive pas du tout puis je avoir de l'aide Merci

[Imod]

Bonjour :zen:

Je ne vois pas trop comment tu conclus que les droites ne sont pas coplanaires .

Imod

[siger]

Bonsoir,

les droites sont definies par:
D1 : A(3,9,2) et u1
D2 : B (0,5, 4,4) et u2

Si elle sont coplanaires D2 doit appartenir au plan (B,D1) et D1 au plan (A,D2) donc les normales N1 et N2 a ces plans doivent etre colineaires
on a N1.u1=N1.AB =0 et N2.u2=N2.AB=0 ......

OU bien

On fait passer par A une parallele a D1 qui a donc pour equation
x = 3+2t
y= 9+ t
z= 2- t
le plan ainsi defini par A, u1,u2 a pour equation parametrique
x = 3 + 2t + w
y = 9 + t +3w
z= 2-t
les droites seront coplanaires si B(0,5,4,4) appartient a ce plan

[siger]

Re
SUITE
2/
soit ax + by + cz + d=0 l'equation du plan P1 de normale n(a,b,c)
la droite d1 de vecteur directeur v passe par le point A
si P1 contient d1 et S on doit avoir en vecteurs
n.v = 0
n.AS = 0
et a*xS + b*yS + c*zS + d =0
soit trois equations qui permettent de calculer a, b et d en fonction de c , par exemple et de choisir c arbitrairement
Ensuite il faut controler que l'expression de P1 est verifiée pour les coordonnees d'un point de d2, ce qui donne b0 et les coordonnees du point d'intersection M1

idem pour P2

Si le rayon r appartient a la fois aux plans P1 et P2 il joint les points S, M1 et M2: c'est l'intersection des 2 plans