[L2] Probas

[Deluxor]

Bonjour à tous,

Voici un exercice plutôt complet de probas qui me pose problème. Je manque en effet terriblement de méthodes... Je ne vois donc pas du tout comment commencer l'exo. (ne serait-ce que pour la question 1...).


Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes. U suit une loi uniforme sur ]0;1[, et V suit une loi uniforme sur ]-1;1[.
On pose : et
On admet qu'on définit ainsi deux variables aléatoires réelles continues.

1) Donner une densité du couple (U,V).
2) Montrer que et .
3) Montrer que le couple (X,Y) est un couple aléatoire continu de densité .
4) Déterminer les densités de X et Y et précisier le nom de la loi de Y.
5) X et Y sont-elles indépendantes?
6) Calculer


J'ai commencé par remarquer que les densités de U et de V sont respectivement : et . Est-on censé justifier que l'on peut bien négliger les points au bornes des intervalles au sens de la mesure de Lebesgue?

Comment dois-je commencer la question 1?

Je vous remercie,

Bonne après-midi!

[adrien69]

Salut, U et V sont indépendantes, donc la densité de la loi conjointe est le produit des densités ;)

[Deluxor]

Merci adrien69 ; je ne pensais pas du tout à cette proposition...

Donc, est-ce juste :

1) Comme U suit une uniforme sur ]0;1[, alors
Comme V suit une uniforme sur ]-1;1[, alors

Comme U et V sont indépendantes, alors le couple (U,V) est continu de densité
Soit :

2) En partant des expressions de X et de Y, on déduit les expressions de U et V données.

3) Je suppose qu'il faut utiliser la méthode de l'espérance avec une fonction-test h, et avec les changements de variable, etc... ? Je ne comprends pas cette méthode...

[Deluxor]

Personne pour la question 3. ?

Je vous remercie :)

[Jemanden]

Personne pour la question 3. ?

Je vous remercie

Tu n'as pas une très belle formule de changement de variables dans ton cour pour des densités :p ?