Aide pour exercice limites, dérivées et logarithmes

[DaphnéeAlice]

Bonjour tout le monde !
Voilà nous avons un dm de maths de niveau première année de license SFA composé de 3 exercices, et on a vraiment du mal à résoudre le troisième. Voilà l'énoncé :

1) En utilisant la définition de la dérivée en un point, montrez que [ln(1+u)]/u tend vers 1 quand u tend vers 0.

2) En déduire (toujours en utilisant un théorème précis), que pour tout x réel :

n*ln(1+(x/n)) tend vers x quand n tend vers l'infini

3) Conclure quant au fait que pour tout x réel, (1+(x/n))^n tend vers exp(x) quand n tend vers l'infini.


(On sait que la définition de la dérivée est que : lim(x tend vers xo) de (f(x)-f(xo))/(x-xo)=L avec L appartenant à R)
Dès la première question on tombe sur une forme indeterminée et quand on la "simplifie" on trouve une limite en 0 qui est normalement égale à l'infini et non à 1... Et de même pour la deuxième question avec une limite qui devrait etre +infini au lieu de x (d'après nous ^^).
Et pour les autres questions, voilà à peu près notre état d'esprit : :mur:


Merci aux âmes charitables qui daigneron nous aider !


P.S : Si c'est Jérémy ou Mr. Vieu, soyez cléments !

[homeya]

Bonjour,

Pour la question 1), la limite de en 0 est aussi la limite de , c'est-à-dire la limite du taux d'accroissement de la fonction f(x) = ln(1+x) en 0. Or f'(x) = et donc f'(0) = 1, qui est la limite recherchée.

Cordialement.