Equation differentielle

[arnaud99]

Bonjour a tous et a toutes, suis nouveau sur le forum et actuellement etudiant en deuxieme annee informatique. voila j'ai une equation differentielle sous les bras que je dois resoudre numeriquement :
-f''(X) + f(x)(f(x)-1)=0 avec x appartenant a [0,1]
f(0)=f(1)=0;
avec la methode des differences finis il me manque une expression algebrique de la solution exacte, quand a Euler et Range kutta j'ai pas reussi a determiner la valeur de f'(0) non plus.
Merci

[Skullkid]

Bonjour, es-tu sûr de ton équation et de tes conditions aux limites ? Parce que là la fonction nulle est solution donc l'intérêt me semble assez limité...

Comme l'équation est non linéaire et avec conditions au bord, ce que tu peux faire par exemple c'est discrétiser le problème en t'intéressant aux valeurs f0, f1, ..., fN prises par la solution approchée f aux points x0 < x1 < ... < xN régulièrement espacés, avec x0 = 0 et xN = 1. Avec des différences finies tu transformes l'équa diff en une relation de récurrence sur la suite (fk). Partant de f0 = 0 et d'une valeur quelconque de f1, tu obtiens tous les fk en fonction de f1, en particulier fN qui doit valoir 0. Avec les différentes valeurs de fN que tu obtiens tu peux estimer la ou les valeurs de f1 qui font que fN vaut 0.

Après, je ne sais pas si tu dois aborder les questions de stabilité, convergence et compagnie...

[arnaud99]

Merci de m'avoir repondu, je m'excuse de retard j'avais pas de connexion.
l'enonce du probleme poser j'en suis sur.
si je comprend bien votre solution je dois determiner la valeur de f1 en fonction de celle de fN?
moi je me demandais si l'on ne pouvais pas determiner f'(0) a partir de f(0) et f''(0), pour pouvoir exprimer f(x) avec la formule des developpement limite?

[Skullkid]

Je ne crois pas qu'on puisse simplement accéder à la valeur de f'(0) à partir de l'équation. Je doute également qu'il existe une expression de f1 en fonction de fN étant donné que fN sera un polynôme de degré dépendant de N en f1. Mais tu peux estimer numériquement les valeurs de f1 qui font que fN est nul. Et f1 = 0 est une de ces valeurs, très probablement la seule commune à tous les N. f1 = 0 donne comme solution approchée la solution exacte, à savoir la fonction nulle.

Les formules de Taylor ne sont valables qu'au voisinage du point auquel tu les appliques, tu peux les utiliser autour de chaque xk pour estimer une valeur approchée de f''(xk) (puisque tu peux rapprocher les xk les uns des autres autant que tu le souhaites), mais tu ne peux pas les utiliser en 0 pour avoir une valeur approchée de f(x) sur [0,1] (puisque tu ne peux pas rapprocher 1 de 0 autant que tu le souhaites).

[arnaud99]

Merci beaucoup pour tous ces eclairssissements.
puis je conclure que la resolution du probleme poser est prive d'interet? etant donner que la solution exacte est la fonction null?

[Skullkid]

Oui, enfin ça sert toujours de s'entraîner à appliquer une méthode, mais ici la solution exacte est simple, ce qui n'est plus le cas si tu prends d'autres conditions aux limites, par exemple f(0) = 0 et f(1) = 1.

[arnaud99]

En effet j'ai appris a appliquer la methode matricielle que l'on venait juste de voir! Merci beaucoup, pour m'avoir concacrer du temps! bonne soiree a vous

[Skullkid]

La méthode matricielle marche bien pour les équations linéaires, mais ici ton équation n'est pas linéaire donc ça tombe un peu à l'eau :/

[arnaud99]

Alors la, suis un peu perdu! pouvez vous m'eclairer?

[Skullkid]

La méthode matricielle que je connais (si ça se trouve il y en a une autre que je ne connais pas) s'applique lorsqu'on a réussi à transformer une équation différentielle en un système de N équations linéaires à N inconnues, c'est-à-dire en un problème d'inversion de matrice. Ici, ton équation différentielle n'est pas linéaire et se transforme en un système de N équations non linéaires à N inconnues.

[arnaud99]

Merci beaucoup pour toutes ces information, je vais plutot me remettre a relire mes cours car apparament beaucoup de chose m'echappe