Equation différentielle second ordre

[Toto15]

Bonjours a tous,
JE suis actuellement en train de reviser les equation différentielle pour un devoir de math Spé, je maitrise plutot bien la methode de la variation de la constante. Mais lors de la premiere etape lorsqu'on pose un y(x)=u(x) exp(x) je comprend pas d'ou vient le exp(x), on m'a signalé que c'etait la solution particuliere, mais quand ca ne l'est pas on fait comment? De plus, pouvons nous l'utiliser dans tout tout les cas? A la place de la methode avec l'equation caracteristique ca marche aussi?

Je vous remercie tous par avance
Cordialement

[busard_des_roseaux]

on note


La multiplication par l'exponentielle est une bijection entre y et u


ce changement de fonction se fait sans perte de généralité
dans le cas où est solution de l'équa diff sans second membre,
le changement de fonction permet de trouver une solution de l'équa diff avec second membre
par quadrature, ou en abaissant l'ordre de l'équation (?)

[Skullkid]

Bonjours a tous,
JE suis actuellement en train de reviser les equation différentielle pour un devoir de math Spé, je maitrise plutot bien la methode de la variation de la constante. Mais lors de la premiere etape lorsqu'on pose un y(x)=u(x) exp(x) je comprend pas d'ou vient le exp(x), on m'a signalé que c'etait la solution particuliere, mais quand ca ne l'est pas on fait comment? De plus, pouvons nous l'utiliser dans tout tout les cas? A la place de la methode avec l'equation caracteristique ca marche aussi?

Bonjour, pour préciser un peu, la variation de la constante sert à trouver une solution particulière de ton équation différentielle, alors que l'équation caractéristique sert à trouver toutes les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène (sans second membre). Elles ne servent pas à la même chose et doivent en général être utilisées ensemble pour résoudre une équation différentielle.

Par exemple, pour résoudre l'équation y'(x) - y(x) = exp(x) + x, tu résous l'équation homogène y' - y = 0 grâce à l'équation caractéristique (bon celle-là est évidente donc y a pas vraiment besoin de passer par là) qui te donne les solutions K*exp(x). Ensuite tu dois trouver une solution particulière de ton équation de départ. La méthode de variation de la constante consiste à rechercher a priori une solution qui ressemble à la solution générale de l'équation homogène, à savoir une fonction de la forme y(x) = K(x)exp(x) (on transforme la constante K en une fonction de x, d'où le nom de la méthode). En injectant cette fonction dans l'équation différentielle de départ, tu obtiens une équation différentielle qui porte sur K, que tu peux résoudre, ce qui te donne une solution particulière de l'équation de départ, par exemple y(x) = x(exp(x)-1) - 1. D'où la solution générale de l'équation de départ : y(x) = x(exp(x)-1) - 1 + K*exp(x).

[busard_des_roseaux]

le produit de deux fonctions uv est bi-linéaire,linéaire par rapport à chaque facteur.
En dérivant par la formule de Leibniz, (uv)'=u'v+uv' , une partie se simplifie , l'autre s'intégre