Equation differentielle

[kikmimaru]

Bonjour tout le monde,
Voila après mon inscription je me lance dans une discussion (Grande première ^^)

Ma problématique est la suivante:
J'ai un DM à faire pour le mois prochaine et je bloque à une question.

J'ai un condensateur chargé par un générateur de courant constant (que un condensateur, pas de résistance en plus).
Mes données sont un schéma ou l'on voit le générateur en parallèle du condensateur et qui débite un courant i(t) constant de valeur I. Le condensateur C est soumis à une tension uc.
D'abord il faut écrire l'équation différentielle.
Jusqu'ici pas de problème cela me donne i(t)=I=C.du/dt

La ou je bug complet c'est sur la résolution de cette équation différentielle, d'habitude il n'y à pas de problème mais la....

On suppose que la charge initiale du condensateur est uc0 et je sais que mon résultat seras Uc(t)= Uc0 + (I.t)/C
J'ai vu une résolution par intégrale mais sa me perturbe vu que pour moi c'est une équation différentielle du premier ordre et que j'ai appris en faisant la primitive de g(t)=b/a le tout sur une exponentielle (je parle juste du début de la résolution de l'équation différentielle la).

Merci d'avance à ceux qui peuvent m'éclairer.
Voila un lien ou j'ai pu voir les résultats mais l’explication de la résolution me perd complet :

http://books.google.fr/books?id=IPReNzKuVbQC&pg=PA73&lpg=PA73&dq=r%C3%A9solution+%C3%A9quation+diff%C3%A9rentielle+condensateur+courant+constant&source=bl&ots=CfPjcsIiBz&sig=YXIFVeUlIwnsV6ZDMOSYUt8oa74&hl=fr&sa=X&ei=LT-RT-XHA4O0hAe8lbSwBA&ved=0CFYQ6AEwCA#v=onepage&q=r%C3%A9solution%20%C3%A9quation%20diff%C3%A9rentielle%20condensateur%20courant%20constant&f=false

[MacManus]

Bienvenue Kikmimaru,

l'équation différentielle i(t)=I=C du/dt est bien du 1er ordre, mais ne fait intervenir QUE le terme dérivé du/dt. On a donc I/C = du/dt. Il suffit ensuite d'intégrer cette relation pour retrouver la solution u exprimée comme tu l'indiques.

Dans le lien que tu donnes, si tu regardes le point 2. tu vois que l'équation différentielle est toujours du 1er ordre, mais fait intervenir du/dt ET u. Et là, tu as appris à résoudre ce type d'équation. Mais pour le point 1, c'est encore plus simple à résoudre.

[kikmimaru]

Bonjour MacManus et merci pour ta réponse,
Je suis d'accord avec toi pour ce que tu dis, mais la ou je n'arrive pas à comprendre c'est au niveau de l’intégrale.
Pourquoi ici on utilise l’intégration au lieu de faire comme j'ai appris (je ne dit pas que ce que j'ai appris est une méthode unique et universelle ^^).
De plus, quand on intègre, le terme du/dt devient u(t)? Cette affirmation est vrai partout ou bien faut-il que la dérivé soit continue? (l’intégrale d'une fonction dérivée est égale à la fonction?)
Je n'arrive pas à m'y retrouver avec la solution générale est la solution sans second membre.
De plus dans une équation différentielle de premier ordre, ce n'est pas obligatoire que l'on retrouve la forme y' = ky? Car ici on à y alors que dans l'exo on à I et la dérivée de U....
Enfin bref je me perd complétement la sa fait un petit moment que je n'ai pas retouché au équation différentielle...

[MacManus]

quand on intègre, le terme du/dt devient u(t)?

Oui
Dérivation de par rapport au temps t, ça donne
Intégration par rapport au temps t de , ça donne .

Cette affirmation est vrai partout ou bien faut-il que la dérivé soit continue? (l’intégrale d'une fonction dérivée est égale à la fonction?)

Oui. , or I est une fonction continue du temps t (constante), on peut donc intégrer entre 0 et t pour retrouver .

[MacManus]

Je n'arrive pas à m'y retrouver avec la solution générale est la solution sans second membre.
De plus dans une équation différentielle de premier ordre, ce n'est pas obligatoire que l'on retrouve la forme y' = ky? Car ici on à y alors que dans l'exo on à I et la dérivée de U....
Enfin bref je me perd complétement la sa fait un petit moment que je n'ai pas retouché au équation différentielle...

Ici tu as , avec et le terme n'intervient pas. Effectivement (je suis allé un peu vite) il ne s'agit pas d'une équation différentielle du 1er ordre. Il s'agit juste d'intégrer pour retrouver .

[kikmimaru]

dsl du retard je n'avais pas recu de notification par mail de tes reponses ^^ merci pour tes reponses qui m'ont bien eclaircie, je me focalisé sur une resolution par solution generale et particuliere sans penser a integrer. et comme j'ai tendance a bloquer des que je ne comprend pas un simple petit detail qui parfois ne perturbe personne ... ^^ en tout cas merci encore.
Allez c'est trop tentant, une derniere question:
pourquoi dans le lien il se retrouve avec la variable u dans l'integrale et pas la variable t?

[MacManus]

dsl du retard je n'avais pas recu de notification par mail de tes reponses ^^ merci pour tes reponses qui m'ont bien eclaircie, je me focalisé sur une resolution par solution generale et particuliere sans penser a integrer. et comme j'ai tendance a bloquer des que je ne comprend pas un simple petit detail qui parfois ne perturbe personne ... ^^ en tout cas merci encore.
Allez c'est trop tentant, une derniere question:
pourquoi dans le lien il se retrouve avec la variable u dans l'integrale et pas la variable t?

Oui alors j'ai pris des notations un peu trompeuses !!
J'ai utilisé la notation pour désigner la tension (notée dans le texte)
En fait, dans le texte, désigne une variable "muette", ça veut dire qu'elle n'intervient pas dans le calcul de l'intégrale (on aurait pu appeler par n'importe quelle autre lettre)
ils n'ont pas utilisé la lettre t pour ne pas la confondre avec la borne supérieure t de l'intégrale.
signifie que l'on intègre I sur l'intervallle de temps [0,t] avec u qui varie dans cet intervalle.

un petit calcul nous donne: (I(u)=I=constante)

[kikmimaru]

Génial c'est tout limpide maintenant :)
Merci encore pour ton aide.

1 ère expérience sur le forum réussite