Polynomes et division

[cabaline]

J'ai un exercice où je bloque dès le début :
Enoncé : Déterminer l'ensemble des n entiers tels que X²+x+1 divise (X^4+1)^n - X^n :
J'ai cherché les racines de X²+X + 1 qui sont e^i2pi/3 et e-i2pi/3.
Cependant après je bloque.. si quelqu'un pourrait m'aider svp

[arnaud32]

utilises le fait qu'un racine de X²+X+1 doit alors diviser (X^4+1)^n - X^n
si A est une racine de X²+X+1 tu as 1+A=-A²
A^4=(A²)²=(-(1+A))²=(1+A)²=1+2A+A²=(1+A+A²)+A = A
donc A^4+1=A+1

d'ou
(A^4+1)^n - A^n=(A+1)^n-A^n

comme tu veux que A soit racine de (X^4+1)^n - X^n
tu dois avoir 0=(A^4+1)^n - A^n=(A+1)^n-A^n
donc (A+1)^n=A^n soit [(1+A)/A]^n=1
ou encore
1=(-A²/A)^n=(-A)^n
c'est a dire que -A est racine nieme de l'unite ....

[cabaline]

ou encore
1=(-A²/A)^n=(-A)^n
c'est a dire que -A est racine nieme de l'unite ....

Je n'arrive pas à comprendre cette partie de votre raisonnement ??

[cabaline]

Ah ! pardon A + 1 = -A² vient du fait que A² + A + 1 = 0 ?

[arnaud32]

oui c'est ca :-)

[cabaline]

ou encore
1=(-A²/A)^n=(-A)^n
c'est a dire que -A est racine nieme de l'unite ....

Je n'arrive pas à comprendre cette partie de votre raisonnement ??

[arnaud32]

(-A)^n=1 veut dire que -A est racine nieme de l'unite
donc

[cabaline]

Je n'ai pas vu cette notion de racine nieme de l'unité en math..