Division de polynomes à la main

[kkneo]

Voilà en révisant mes DL je suis tombé sur celui de tangente que j'ai voulu calculer avec les DL de sinus et cosinus à l'ordre 3 en passant pas la division euclidienne en partant des puissances les plus faibles vers celles les plus fortes ...

bon j'ai fait le calcul classique qui demandes bcp bcp d'opérations et j'aimerais retrouver les méthodes de division des polynomes qui permettent de faire moins d'opérations à la main
... et donc moins d'erreurs car la méthode bête et méchante où on cherche le quotient en partant de la plus petite puissance (mais généralement de la plus élevée) induit forcément des erreurs d'inatentions :hum: .

merci d'avance

[Sylar]

A l'ordre 3 c'est trivial :doh: :doh:

[Sylar]

tan(x)=sin(x)/cos(x)

cos(x)=1-x^2/2+o(x^3)
sin(x)=x-x^3/3!+o(x^3)

=> tan(x)= [x-x^3/3!+o(x^3)]/[1-x^2/2+o(x^3)]

[kkneo]

En effet je me suis trompé ... supérieur à 3.

Mais le pb n'est pas forcément dans le DL de la tangente mais plus dans des méthodes de calculs rapides de division de polynome à la main.

[abcd22]

Bonjour,
Pour calculer le développement limité de tangente le plus pratique c’est de le faire d’abord à l’ordre 2 (en fait 1 puisque tan est impaire), ce qui permet d’obtenir un DL2 de la dérivée 1 + tan² qu’on peut intégrer, et on recommence pour les plus grands ordres.
Par contre pour les divisions euclidiennes je connais rien d’autre que la technique classique.

[anima]

En effet je me suis trompé ... supérieur à 3.

Mais le pb n'est pas forcément dans le DL de la tangente mais plus dans des méthodes de calculs rapides de division de polynome à la main.

Ecoute les compatriotes, le calcul bete et méchant n'est pas une solution. Quitte, plutot que de passer par sinx/cosx (qui donne des calculs purement infernaux), autant essayer avec la formule de Maclaurin.
A moins que la dérivée de tan x ne soit une inconnue?

[ouragh]

Ecoute les compatriotes, le calcul bete et méchant n'est pas une solution. Quitte, plutot que de passer par sinx/cosx (qui donne des calculs purement infernaux), autant essayer avec la formule de Maclaurin.
A moins que la dérivée de tan x ne soit une inconnue?

Bonjour ,

Il est toujours vrai que si l'on effectue à la main les DL de telles fonctions en utilisant la vielle méthode de la division longue ( suivant les puissances croissantes ) cela est pénible. Mais si les divisions suivants les puissances croissantes sont effectuées sur un tableau d'O.R. on réduit considérablement les calculs. En effet par exemple le développement à l'ordre 7 de tn(x) se fera sur tableau d'O.R. comme suite
........................................................................ 0
........................................................................ 1/2
........................................................................ 0
........................................................................ -1/24
.. -1/5040 . 0 . 1/120 . 0 . -1/6 . 0 . 1 .. ................. 0
... 17/315 . 0 . 2/15 . . 0 . 1/3 . 0 . . 1 .. ............... 1/720



Donc on relève de ce taleau le résultat suivant

tan(x)= x(1+(x^2)/3+2(x^4)/15+17(x^6)/315+0(x^6))

Remarque :
A la matrice colonne de droite sont portés les coefficients du développement ( à l'ordre 6) de cosx à l'exception du "1" qui apparait au départ.
A la première ligne de la matrice principale de ce tableau d'O.R. sont portés les coefficients de sinx/x .

Cordialement