Equation différentielle

[fyl0u]

Bonjour tout le monde,

Voila je suis en plein dilemme pour mes équation différentielle. Je ne comprends pas pourquoi je n'arrive pas a la même estimation lorsque j'utilise Taylor et Euler.

L'énoncé est le suivant :

y'(x) = x + y²(x) avec y(0)=0

Le pas "h" est de 0.2

On me demande calculer une estimation de y pour x = 0.6

Avec Euler y(0.6) = 0.12032
et avec Taylor y(0.6) = 0.18

J'aurais compris avec une toute petite erreur mais la j'ai un peu de mal !!

Merci beaucoup !

Et bon blocus a tout le monde !

[Black Jack]

Bonjour tout le monde,

Voila je suis en plein dilemme pour mes équation différentielle. Je ne comprends pas pourquoi je n'arrive pas a la même estimation lorsque j'utilise Taylor et Euler.

L'énoncé est le suivant :

y'(x) = x + y²(x) avec y(0)=0

Le pas "h" est de 0.2

On me demande calculer une estimation de y pour x = 0.6

Avec Euler y(0.6) = 0.12032
et avec Taylor y(0.6) = 0.18

J'aurais compris avec une toute petite erreur mais la j'ai un peu de mal !!

Merci beaucoup !

Et bon blocus a tout le monde !

Avec des "pas" de cette taille, il ne faut pas s'étonner de la piètre précision.

Exemple, avec des pas de 0,01, la méthode d'Euler donne y(0,6) = 0,180662374
Et avec des pas de 0,001, la méthode d'Euler donne y(0,6) = 0,183661659

Plus les pas sont grands ... plus on arrive vite à une solution ... mais plus elle est imprécise... sauf si on a du bol.

:zen:

[fyl0u]

Un tout grand merci !! =)

[JeanJ]

Bonsoir,

je suis bien d'accord sur le fait qu'il faut prendre un incrément plus petit pour espérer une précision satisfaisante.
Pour information:
Il est possible de résoudre analytiquement l'équation différentielle. On obtient une formule relativement simple qui fait appel aux fonctions d'Airy Ai, Bi et leurs dérivées Ai' et Bi':
y(x) = (sqrt(3)Ai'(-x)+Bi'(-x))/(sqrt(3)Ai(-x)+Bi(-x))
Les valeurs numériques de chacune de ces fonctions sont obtenues aisément avec les logiciels tels que WolframAlpha, par exemple.
Pour x=0,6 le résultat est : y(0,6) =0,183996..
Ce qui est en assez bon accord avec le résultat de Black Jack. Il faudrait un pas encore plus petit pour mieux approcher la valeur ci-dessus.
(Désolé, je n'arrive pas à joindre la copie de la page où cette formule est établie)

[Pythales]

Bonsoir,

je suis bien d'accord sur le fait qu'il faut prendre un incrément plus petit pour espérer une précision satisfaisante.
Pour information:
Il est possible de résoudre analytiquement l'équation différentielle. On obtient une formule relativement simple qui fait appel aux fonctions d'Airy Ai, Bi et leurs dérivées Ai' et Bi':
y(x) = (sqrt(3)Ai'(-x)+Bi'(-x))/(sqrt(3)Ai(-x)+Bi(-x))
Les valeurs numériques de chacune de ces fonctions sont obtenues aisément avec les logiciels tels que WolframAlpha, par exemple.
Pour x=0,6 le résultat est : y(0,6) =0,183996..
Ce qui est en assez bon accord avec le résultat de Black Jack. Il faudrait un pas encore plus petit pour mieux approcher la valeur ci-dessus.
(Désolé, je n'arrive pas à joindre la copie de la page où cette formule est établie)

Hello JJ
En posant l'équation (de Ricatti) se transforme en l'équation linéaire du 2ème ordre
qu'on peut résoudre par un développement en série entière.

[JeanJ]

Hello JJ
En posant l'équation (de Ricatti) se transforme en l'équation linéaire du 2ème ordre
qu'on peut résoudre par un développement en série entière.

Salut Pythales,

en effet, c'est de cette façon que j'ai obtenu le résultat donné dans mon post précédent, sauf qu'au lieu de développement en série, la solution formelle de z''+x.z=0 s'écrit avec les fonctions d'Airy :
Z = c1.Ai(-x) +c2.Bi(-x)
avec c1 et c2 constantes.
L'avantage est qu'il est ensuite aisé d'obtenir directement les valeurs numériques avec une bonne précision, avec les logiciels de calcul numérique où les fonctions d'Airy sont implémentées.
Avec les développements en série, c'est plus long à programmer.