Expressions de vecteurs

[audrey01010]

Bonjour,
j'ai un problème pour démontrer deux expressions:

Tout d'abord, voici l'énoncé :
"On considère un triangle ABC et on appelle A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Le point H est l'orthocentre du triangle ABC.
Le point G est le centre de gravité du triangle ABC."

Et je doit montrer que :

1) Le vecteur AB + le vecteur AC = 2 vecteurs AA'

Pour cette expression, je voit pourquoi ces deux vecteurs donne cet autre vecteur, je pense que ça a un rapport avec une propriété du losange

2) Le vecteur GA + le vecteur GB + le vecteur GC = vecteur nul

Par contre, pour cette expression, je ne vois pas comment la somme de ces vecteurs pourraient donner un vecteur nul.

Merci de votre aide,
Audrey.

[messinmaisoui]

Hello Audrey01010


1) Le vecteur AB + le vecteur AC = 2 vecteurs AA'

Pour cette expression, je voit pourquoi ces deux vecteurs donne cet autre vecteur, je pense que ça a un rapport avec une propriété du losange

En fait cette relation est due au fait que A' est milieu de BC

En partant de vecteur BA' = Vecteur A'C et en appliquant la relation de Chasles
du retombes sur cette formule ...


2) Le vecteur GA + le vecteur GB + le vecteur GC = vecteur nul

Par contre, pour cette expression, je ne vois pas comment la somme de ces vecteurs pourraient donner un vecteur nul.


Là c'est la définition du centre de gravité d'un triangle tout simplement:
Si G est le centre de gravité alors il vérifie cette relation ...

Introduit la relation de chasles dans cette relation
ex : vecteur GA + vecteur GA + vecteur AB +vecteur GA + vecteur AC = vecteur nul
puis remplace vecteur AB + vecteur AC par son équivalent en 1)
et tu obtiens une nouvelle relation ... GA en fonction de AA'

Pour placer le centre de gravité entre 3 points ABC
il est plus facile d'utiliser cette nouvelle relation qui montre
que ce point G se situe entre nos 2 points A et A' au 2/3 en partant du sommet
(et que ce point G se situe entre nos 2 points B et B' au 2/3 en partant du sommet
et que ce point G se situe entre nos 2 points C et C' au 2/3 en partant du sommet)

Fais une figure ... trace ce point G et tout va s'éclairer ...

[audrey01010]

je viens de comprendre
Merci beaucoup ! :happy2: