Groupes

[rad]

Bonjour,
on a débuté sur le cours des groupes avant les vacances et je commence à faire quelques exos pour bien comprendre: je note ici * une étoile (ce n'est pas une multiplication)
Soit (G,*) un groupe et e son élément neutre.
Si z appartient à G, son inverse est noté z^(-1). Pour tout a appartenant à G, définissons l'application:
f_a : G ->G
x-> f_a(x)=a*x*a^(-1)
Posons F={f_a(x)| appartient à G}

1) Soit a appartient à G. Montrer que f_a est un automorphisme de (G,*).
2) Soit a,b,x appartenant à G. Montrer que f_a(x)=f_b(x) si et seulement si a^(-1)*b commutent.
3) Montrer que (F,rond) est un groupe.
4) Montrer que g:G->F
a-> g(a)=f_a
est un morphisme de groupe de (G,*) dans (F, rond)


Pour la 1) il faut donc montrer que f_a est un isomorphisme de groupe de (G,*) sur (G,*) mais comme je n'en suis qu'au debut une aide serait la bienvenue pour cet exo.
Bonne journée et merci d'avance ;)

[arnaud32]

quelle est la definition d'un morphisme de groupe?

[rad]

Bonjour :)

Un morphisme de groupe de (G,*) dans (G,*) est une application de G dans G telle que pour tout (x,y) de G², f(x*y)=f(x)*f(y)

[arnaud32]

et pour f_a ca donne quoi?

[rad]

pour f_a(x) = a*x*a^(-1) d'apres l'enoncé
or a*a^(-1) = e
donc f_a(x)=x ?

[arnaud32]

f_a(x*y)=a*(x*y)*a^-1=a*(x*e*y)*a^-1=a*(x*(a^-1*a)*y)*a^-1