Groupes isomorphes

[Nicolas59]

Bonjour

Je dois montrer que Aut(Z/2Z x Z/2Z)est isomorphes à S3 (groupe des permutations).

Je dis qu'un morphisme f de Aut(Z/2Z x Z/2Z) fixe l'élément neutre et permute un élément non trivial de Z/2Z, et qu'il y a 6 façons de le faire, donc 6 morphismes différents dans Aut(Z/2Z x Z/2Z). Il y a aussi 6 éléments dans S3 (3!). Ils ont donc le même cardinal et sont finis.
Donc si une application T: Aut(Z/2Z x Z/2Z) ----> S3 est injective ou surjective, elle bijective.

Et là je bloque. Est ce que le début est bon? Et comment continuer?



(Mon prof dans sa correction dit carrément au début que Aut(Z/2Z x Z/2Z) -> S3 injective ( avec le signe flèche tordue et écrit injective au dessus , je ne sais pas ce que ça signifie)

[Maxmau]

Bj
Ton idée de départ est bonne mais incomplète
Je note e=(0,0) ; a=(1,0) ; b=(0,1) ; c=(1,1) les 4 éléments du groupe additif : Z2 X Z2
Si f est un automorphisme de Z2 X Z2 on peut lui associer la permutation s qui transforme a,b,c
en f(a),f(b) , f(c)
L'application qui à f associe s est clairement une injection de Aut(Z2 X Z2) vers S3=S(a,b,c)
Il faut encore vérifier que c'est une surjection (pour avoir une bijection)
et aussi qu'elle est compatible avec les lois (pour avoir un isomorphisme de groupes)

[Nicolas59]

Oui, effectivement je dois pas oublier la vérification du morphisme. Mais deux points me gênent :" le clairement injectif" (peut-être parce que je suis pas habitué à manipuler de telles notions sur de telles structures)

le deuxième point est qu'à partir du moment où on a un morphisme injectif et le même cardinal, pourquoi ne pas dire que ce morphisme sera surjectif et donc bijectif?

[Doraki]

Pour clarifier, faut donner un nom à cette application de Aut(Z/2Z x Z/2Z) dans S3 = S({a,b,c}).
Par exemple ;) :
Par définition, ;)(f) = la restriction de f à {a,b,c}, ce qui est bien une permutation de {a,b,c}.

Pour montrer l'injectivité, ben tu montres que si tu as deux automorphismes f1 et f2 et si ;)(f1) = ;)(f2) alors f1 = f2.
C'est à dire, si f1(a) = f2(a), f1(b) = f2(b), et f1(c) = f2(c), alors f1(e) = f2(e), f1(a) = f2(a), f1(b) = f2(b) et f1(c) = f2(c). C'est pas dur.

Ensuite tu n'as pas fini car tu n'as pas montré que Aut(Z/2Z x Z/2Z) est de cardinal 6.
Comme tu ne sais pas qu'il est de cardinal 6, tu ne peux pas en déduire que ;) est une surjection.
Donc tu dois montrer que ;) est une surjection, c'est à dire que pour toute permutation g de {a,b,c}, il existe un automorphisme f de Aut(Z/2Z x Z/2Z) tel que f(a)=g(a), f(b)=g(b), et f(c)=g(c).
C'est pas dur non plus vu que t'as pas tellement de choix pour f et après il suffit de vérifier que f est un morphisme de groupes.

Enfin, il faut montrer que ;) est un morphisme de groupes, c'est à dire
;)(identité sur Z/2Z x Z/2Z) = identité sur {a,b,c},
et que ;)(f1°f2) = ;)(f1)°;)(f2).