Suite qui se répètent [Résolu]

[alex-blade2]

J'ai un exercice que je dois résoudre où je ne comprends pas bien ce que je dois faire, vous allez voir je vous mets l'énoncé et je vous dis les résultats que j'ai déjà :

Les questions 1) et 2) sont indépendantes.
On considère la suite définie pour tout entier par et .
1) a. Etudier la monotonie de
b. Démontrer que pour tout on a
c. Etudier la convergeance de
2) a. Conjecturer l'expression de en fonction de , puis démontrer cette conjecture.
b. Etudier alors la convergeance de .


Ce que j'ai déjà :

1)a. Là j'aurai une autre question, car si on fait on trouve directement que c'est égale à et donc c'est forcément positif donc croissante, mais je me suis dis que c'était peut être trop simple et qu'il y avait un piège avec j'ai fait par récurrence avec et je trouve aussi qu'elle est croissante.

b. Là j'ai utilisé une méthode de récurrence à nouveau, et tout se passe bien, donc .

c. Là est mon premier problème, je ne sais pas comment faire puisque nous nous avons vu comment étudier la convergence avec croissante et majorée par exemple mais là elle est croissante et minorée et en plus pas par une constante. Si vous aviez quelques pistes à me donner.

2)a. J'ai calculer les premiers termes et trouver par conjecture que , alors je fais une nouvelle fois encore une récurrence avec et ça marche ! Donc ma conjecture est vérifié.

b. Et une nouvelle fois bloqué, que faire ? C'est presque la même question que là 1)b. sauf qu'il y a le mot alors en plus je suppose donc que c'est une déduction logique, et que la réponse 2)a. permet une précision de plus à la réponse 1)c.



Bref j'aimerai un peu d'aide, ou m'indiquer la marche à suivre.
Je vous remercie de m'avoir lu, et plus encore si vous répondais.

[Nightmare]

Salut,

1a) ce que tu as fait est bon, pourquoi ça ne marcherait pas?

b. Ok

c. Premièrement, une suite croissante est toujours minorée (par son premier terme). Ici, il faut utiliser la b. quelle est la limite de n²? Et on sait que Un lui est toujours supérieur...

2)a) Ok

b. Ben maintenant, on a l'expression de (Un) donc en déduire directement sa limite, en l'occurrence (n+1)² ça tend vers +oo. Il est vrai que l'expression "étudier la convergence" peut être un peu troublante au sens où l'on s'attend aussi à la réponse "elle ne converge pas".

[alex-blade2]

Pour la 1) c. Et bien je dis que et donc d'après le théorème de comparaison : .
J'avais trouvé ce résultat mais je me demandé la conclusion pour la convergence ? C'est qu'elle converge vers en ?
Je pensais que la convergence ne marchait que pour les valeurs réelles.

Et pour ma 2)c. Il faut juste refaire pareil mais avec (n+1)² alors ?

[Vahngal]

1) le théorème de comparaison marche parfaitement.

Une suite numérique ne peut pas converger vers l'infini. On dit qu'elle diverge grossièrement.

En fait, quand on te demande d'étudier la convergence, la réponse peut être : Convergence (précisez la limite de convergence) ou Divergence.

[alex-blade2]

Alors je dis qu'elle converge vers lim Un = +oo quand n tend vers +oo ?

[Nightmare]

Non, encore une fois "converger vers +oo" ne se dit pas (en tout cas pas dans ce contexte), on dira "tend vers +oo" voir "diverge vers +oo"

[alex-blade2]

Très bien merci beaucoup pour toutes ces précisions, j'ai à présent tout les éléments pour finir correctement cet exercice.