Courbe paramétrée

[Jean16]

Bonjour à tous,
Voici l'exercice qui pose problème.
soit x(t)=(t^2-4)/(t+1) et y(t)=(1-4t^2)/(t(t+1))1)
1)Déterminer l'ensemble de définition D : R privé de -1 et 0
Pour t appartenant a D, montrer que le point de paramètre 1/t se déduit d'une transformation géométrique simple du point de paramètre t : On remarque que lorsque t=1/t x(1/t)=y(t) et y(1/t)=x(t)
Mais la transformation géométrique je ne vois pas ce que sait enfin je n'arrive pas à le modéliser sur un graphe.

2)Dresser le tableau de variation de x et y. : x est toujours croissant et y est toujours décroissant (en n'oubliant pas les valeur interdites).

3)Etudier les branche infinies de la courbe : je trouve une asymptote oblique d'équation y=-x quand t tend vers -1, une asymptote horizontale d'équation y=-4 en + et - l'infinie et une asymptote verticale x=-4 quand t tends vers 0.

4) Montrer qu'il existe deux valeurs t1 et t2 du paramètre t, inverse l'une de l'autre et différentes de 1, pour lesquelles les points de paramètre t et 1/t sont confondus. Interprétation ?
C'est à cette question que je bute je ne vois pas par ou commencé. Si on pourrait m'éclaircir

5) Construire la courbe T dans un repère orthonormé adapté, en faisant apparaître son asymptote et son axe de symétrie.
Je ne vois pas pk il dise SON asymptote alors que j'en trouve deux. et pour l'axe de symétrie j'imagine que ça un rapport avec t et 1/t (question 4)
Voila si on pourrait m'éclaircir. Merci !

[Ben314]

Salut,
Pour la 1), prend une feuille de papier quadrillé, fait un repère, trace en bleu les points A:(1,2) ; B(3,1) ; C(5,3) ; D(-2,1) ; E(-3,-2) puis en rouge les images A', B', C', D', E' de ces cinq points par l'application (x,y)->(y,x).

Pour la 4), ben on te demande de chercher le(s) t tel(s) que x(1/t)=x(t) et y(1/t)=y(t)
(sauf qu'en fait, vu le résultat du 1), ces deux équatons disent toute les deux la même chose )

Pour la 5), "l'axe de symétrie" est lié à la question 1) et pas vraiment à la 4).

[Jean16]

Pour la 1) C'est donc une symétrie d'axe y=x. merci
Pour la 4) je ne vois pas comment faire on se retrouve avec une équation comme cela : t^4+5t^3-4t-1=0 je ne vois pas comment la résoudre.
Merci

[Ben314]

Vu l'énoncé, le système de départ que tu as à résoudre est :
x(1/t)=x(t)
y(1/t)=y(t)
qui a clairement comme solution "triviale" t=1.
Or l'équation que tu propose t^4+5t^3-4t-1=0 n'est pas vérifiée pour t=1 donc...

Indic : Perso, j'obtient en une ligne une équation du troisième degrés qui a bien sûr t=1 comme solution "évidente" ce qui permet d'obtenir une équation du second degrés...

[Jean16]

Exact j'avais pas vu la simplification à faire. Je trouve t1=(-5-sqrt(21))/2 et t2=1/t1
Mais le problème c'est que j'ai du mal à savoir on l'on veut en venir... Je ne comprends pas à quoi servent ces deux valeurs....

[Ben314]

Là où on veut en venir, ben c'est juste de voir que la courbe admet des "points doubles", c'est à dire des "croisements". Pour la tracer "assez précis", c'est assez utile et ça fait parti des "questions classiques" quand on étudie une courbe paramétrèe.

Sinon, pour tout ce qui est courbe (paramétrées ou pas), c'est pas mal d'avoir un petit programme pour les tracer : ça évite d'écrire de grosses conneries. Tu trouve des tas de programmes gratuits sur le net qui font ça (moi j'utilise GéoLabo, mais c'est pas super terrible dans cet objectif)