Courbe paramétrée

[Pythix]

Bonjour,
Voici mon exercice:
on considère la courbe



1) Détermnier le point limite quand t tend vers 0. OK (0,1/2)
2) Déterminer le vecteur dérivé et montrer que M est stationnaire ssi t=2tan(t/2). OK
3) Montrer que l'équation t/2=tan(t/2) admet une unique racine dans ](2n-1)pi;(2n+1)pi[. OK

4) Préciser .
5) Montrer que ces points stationnaires sont des points de rebroussement, qu'ils sont cocycliques et que les tangentes en ces points sont concourantes en un point que l'on précisera.
6) Donner l'allure du support de la courbe.

Je ne vois pas pour les questions 4) et 5)...
Merci d'avance pour toute aide.

[tbotw69]

Pour la question 4), on vient de montrer que est une solution : donc on peut exprimer et dire que
Peut être qu'en remplaçant cette expression là dans x(t) et y(t) ça donne un truc sympa (je le fais pas, il faut appliquer les formules de trigos et c'est un peu long, mais c'est une idée) et donc on aurait le point

Pour la question 5), les points de rebroussements de 1ere espèce et de 2e espèce, c'est une histoire de "au dessus" ou "au dessous" des tangentes (et qui rebrousse en tranversant la tangente ou non). Ca devrait être dans le cours, c'est une application directe.

Bon courage

[serge75]

Il faut utiliser la définition de t_n à savoir .
Ainsi .
On prend un aspirine et on continue :

je ne sais pas si ça convient, j'ai rendez vous et j'ai pas le temps de finir.
Bon courage

[Pythix]

j'ai également trouvé
mais pour le point de rebroussement, il faut faire un DL ?

[serge75]

Ton expression de y(tn) est visiblement fausse, ne serait-ce qu'elle contredit ta question suivante sur la cocyclicité !
Pour ma part je trouve , ce qui est en accord avec la cocyclicité.
Si tu n'arrives pas à le retrouver je te donnerai les détails de calcul, mais je t'avoue que pour l'instant, j'ai la flemme.
Serge

[Pythix]

oui, je trouve la même chose, j'avais repris l'expression de x(t)...
pour montrer que c'est un point de rebroussement, faut il se servir de DL ?




donc point de rebroussement normal tangent à (1/4,0) non ?

pour montrer qu'ils sont cocyliques, suffit il de dire que l'on reconnait la paramétrisation du cercle de centre (0,1/4) et de rayon 1/4 ?

[serge75]

Pour la cocyclicité : oui.
Pour le point de rebroussements : tes DL sont faux (tu as utilisé des développements en 0 alors qu'on veut des développements au voisinage de t_n). Regarde plutôt x(t_n+h) et y(t_n+h) au voisinage de 0 en h.
Serge

[Pythix]

Je rame vraiment sur le DL la... il va y avoir des cos(tn) et des sin(tn) ?

[serge75]

C'est fort probable, oui...

[Pythix]

Le DL ou les dérivées secondes suffisent à prouver que c'est un point de rebroussement ?

[serge75]

Point de rebroussement : lorsque p est pair (de première espèce si q est impair, de deuxième espèce sinon). Donc effectivement, ti tu montres qu'en un point ta dérivée première est nulle et que la dérivée seconde ne l'est pas, tu auras nécessairement un point de rebroussement.
Serge