Courbe paramétrée

[Dervichter]

Voilà, j'ai une étude de courbe paramétrée hors je ne sais pas trop me débrouiller avec ça... J'aurais aimé qu'on me guide, j'ai donc le paramétrage suivant: x=(t²+1)/t et y=(2(t²xt) +1)/2t²

on me demande de préciser la nature du point stationnaire et les branches infinies, mais quézako? Il faut faire l'étude de la courbe paramétrée mais j'sais pas trop par où commencer... Merci de votre aide.

[Mikou]

remplace x ds y= ... tu aura y en fonction de t seulement

[Dervichter]

Le x de y= c'est un fois, j'suis sous linux et j'sais pas comment faire de t au cube... Donc j'ai mis t²xt, désolé, je ne l'avais pas précisé :)

[abcd22]

Bonsoir !

t³, chez moi ça marche pareil que pour t² en tapant t^3 (mais il veut pas mettre de plus grandes puissances).

La première chose à faire est de trouver l'ensemble de définition de x et y et leur régularité (jusque là c'est pas trop dur normalement).
Ensuite on regarde si x et y sont paires ou impaires pour éventuellement réduire l'intervalle d'étude et compléter la courbe par symétrie : ici x est impaire mais y n'est ni paire ni impaire donc on ne peut rien dire de spécial.
On étudie les variations de x et y sur leur ensemble de définition et leurs limites et on regroupe les résultats dans un tableau.
Un point stationnaire est un point de paramètre tel que , d'après l'énoncé il y en a un. On fait une étude de la courbe au voisinage du point stationnaire en écrivant des développements limités de x et y en , le but étant de trouver les plus petites valeurs de et () tels que (avec ) et forme une famille libre. Suivant la parité de p et q on a l'allure de la courbe au voisinage du point dans le repère local (tu dois avoir ça dans ton cours, ici ma calculatrice donne un point de rebroussement de 1e espèce donc p est pair et q est impair).

[Dervichter]

ben en faite n'a pas vu encore les DL au voisinage d'un point, ça me parait bizarre, par contre on a vu les familles libres. Bon sinon merci pour la méthode, si j'ai des problèmes j'en ferais part :)

[abcd22]

Il reste à étudier les branches infinies. On regarde les limites trouvées aux bornes de l'intervalle d'étude, dès que ou a une limite infinie ça donne une branche infinie à étudier, ici on en a 4, et à chaque fois et ont des limites infinies, donc on regarde la limite du rapport à chaque borne pour chercher s'il y a une direction asymptotique (si par exemple avait une limite finie et une limite infinie on pourrait dire tout de suite qu'il y a une asymptote verticale d'équation x=(la limite de )).
- Si tend vers l'infini, la courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique Oy.
- Si tend vers une limite finie , la direction asymptotique est celle de la droite , il faut encore étudier la limite de . Si cette limite existe et est finie égale à la droite d'équation est asymptote à la courbe (et il faut regarder le signe de la différence pour placer localement la courbe par rapport à l'asymptote...), si cette limite existe et est infinie on a une branche parabolique dans la direction de la droite d'équation .

On peut souvent faire cette étude grâce à des développements limités ou asymptotiques au voisinage du point où il y a une branche infinie pour aller plus vite (au lieu de regarder plein de limites). Ici ces développements sont déjà tout faits : , . Au voisinage de par exemple, on voit que : direction asymptotique . On regarde donc : la différence tend vers 0 et est négative au voisinage de l'infini, donc la droite d'équation est asymptote à l'arc en et l'arc est situé sous son asymptote au voisinage de l'infini.

Et pour finir on fait un dessin en plaçant les asymptotes et quelques points particuliers (point stationnaire, points où la tangente est verticale ou horizontale) et en faisant attention à ce qu'il soit cohérent avec tous les résultats.

[abcd22]

Si vous avez fait les DL en 0 pour le faire au voisinage d'un point quelconque (pour la fonction ) il suffit d'écrire , écrire le développement de en 0 et remplacer par .
Pour le faire en on pose , on écrit le DL en 0 de puis on reremplace par pour obtenir le développement asymptotique de .
C'est bizarre qu'on vous demande d'étudier des courbes paramétrées sans développements limités, c'est quand même très pratique (et pour étudier les points stationnaires en cours on écrit un développement limité, donc c'est dur de faire le cours sans....)...

[Dervichter]

Ben en faite on a fait le DL, mais je pense qu'il veux qu'on se débrouille un peu comme on peut... C'est normal en maths sup ils nous machent pas le travail lol!