Sens de variation de suite

[mimiemadinina]

Etudier le sens de variation de la suite :
Un = (n² - 1)/n² + 1

dois-je calculer le quotient U(n+1)/U(n) ou la différence U(n+1) - U(n)?

[Ericovitchi]

je suppose que c'est (n²-1)/(n²+1) ? donc avec des parenthèses autour de n²+1 au dénominateur ?

la différence se met sous la forme ce qui est assez sympathique parce que l'on voit que c'est toujours positif

le quotient se mets sous la forme
et c’est nettement plus compliqué de montrer que c'est toujours supérieur à 1.

Donc je te recommande plutôt Un+1-Un

[mimiemadinina]

C'est vrai quand je calcule ca donne :
U(n+1) = ((n+1)² - 1)/((n+1)² +1) = (n² + 2n)/(n²+2n+2)
U(n+1) - Un = (n² + 2n)/(n²+2n+2) - (n²-1)/(n²+1)

On réduit au même dénominateur et on trouve :
U(n+1) - Un = (4n +2)/((n²+1)(n²+2n+2)) = 2(2n +1)/((n²+1)(n²+2n+2))

Lé dénominateur sera toujours positif et plus grand que le numérateur, donc le résultat se rapproche de zéro. donc Un > U(n+1)
La suite est décroissante. Ai-je raison?

[Ericovitchi]

oui tout simplement Un+1 - Un > 0 donc Un+1 > Un
pas besoin de dire que le dénominateur est plus grand, ou que ça tend vers zéro, etc...

[mimiemadinina]

merci beaucoup

[mimiemadinina]

la suite est croissante alors

[Ericovitchi]

oui croissante
D’ailleurs un s'écrit aussi 1-2/(n²+1) donc on voit bien que ça croit et que ça tends vers 1 (on enlève à 1 un truc de plus en plus petit).

C'était encore plus rapide d'ailleurs comme démonstration.

[mimiemadinina]

merci beaucoup. a bientot