équation différentielle de second ordre

[Solofein]

Bonjour,

Je cherche à résoudre l'équation différentielle d'ordre 2 suivante :



Pour la résolution sans second membre pas de problème, j'étudie le polynôme caractéristique ...
Mais pour trouver l'ensemble des solutions générales je galère un peu ...
J'ai cherché un tel que soit solution de l'équa diff mais sans résultats concluant ...

Suis-je obligé d'utiliser la méthode de variation de la constante dans ce cas ?

Merci d'avance.

[barbu23]

tu remplaces dans et ensuite tu te trouveras devant un petit système d'equations à resoudre pour trouver les valeurs de et .
:happy3:

[Solofein]

tu remplaces dans et ensuite tu te trouveras devant un petit système d'equations à resoudre pour trouver les valeurs de et .
:happy3:

Bonjour,

Bah en posant

on a :

Je remplace tout ça dans ma superbe équation et j'obtiens
...
Enfin j'ai ptetre fait des erreurs de calcule/raisonnement mais j'ai pas l'impression que ce soit concluant ...

[Finrod]

ça fait bien zéro.

C'est une solution de l'équation sans second membre.

essai (1/2)t sin(t)

[Solofein]

ça fait bien zéro.

C'est une solution de l'équation sans second membre.

essai (1/2)t sin(t)

Okay,

donc avec
j'obtiens
Et donc ...

La solution particulière marche, merci.

Mais comment procéder pour trouver cette solution particulière ? variation de la constante ?

[prody-G]

La forme générale d'une solution de ton équation est :

(sauf erreur de calcul)

On peut simplifier le résultat vu que les intégrales se calculent bien.
Avec une variation de la constante tu peux trouver ça.

[Ben314]

La méthode de prody-G est celle de variation de la constante.

A mon avis, Finrod (qui est un petit malin...) n'a pas procédé comme cela.
Tu as dû trouver que ton équa-diff. homogène x"+x=0 a pour solution les fonctions x(t)=a.cos(t)+b.sin(t) avec a,b réels.
Déja, cela montre que dans l'équation avec second membre x"+x=cos(t), cela ne sert absolument à rien d'essayer x(t)=a.cos(t)+b.sin(t) vu qu'on sait déjà que, dans ce cas, on trouve x"+x=0 !!
La "méthode générale" dit que, dans ce cas là, il faut essayer x(t)=at.cos(t)+bt.sin(t) (i.e. remplacer les constantes par constante.t)
De même, si par exemple cos(t) et t.cos(t) étaient tout les deux solutions de l'équa-diff. homogène et que l'équa-diff. avec second membre contient du cos(t), il faudrait "essayer" x(t)=at².cos(t)+bt².sin(t).

[Finrod]

J'ai fait comme toi Ben, en effet. Mes souvenirs n'étaient pas aussi précis.

[Solofein]

Merci beaucoup pour ces explications, je suis moins dans le flou ^_^ la "méthode générale" de changer la constante par constante*t paraît intéréssante et moins risquée niveau erreur de calcul que la variation de la constante ... il faudrait que je m'entraîne à l'utiliser ...