Polynomes, endormorphisme.

[alicia_010]

Bonjour a tous!!

Voici lenonce dun devoir qui me pose probleme depuis un petit moment. Si vous pouvez me donner des pistes je serai tres reconnaissante. Je vous remercie davance pour votre precieuse aide.


On considere un K-espace vectoriel E, ou K = R ou C. Pour tout endomorphisme f de E, et tout entier naturel n, on note f^n = f o......o f, n fois, avec la convention f^0 = IdE.
Pour tout polynome P appartenant a K[X], tel que P =somme (de i=0 a n)ai*Xi, on note P(f) =somme (de i=0 a n)ai*fi

On dit que le polynome P est un polynome annulateur de f ssi P different de 0 (indice de K[X]) et P(f) = 0 (indice End(E))

On suppose que f admet un polynome annulateur Q. Soit P appartenant a K[X].
question 1 :Montrer que P(f) = R(f), ou R est le reste de la division euclidienne de P par Q.
On suppose dans cette question que f admet un polynome annulateur de degre 2 dont les racines a et b sont distinctes.
Montrer que pour tout polynome P appartenant a K[X], on a :
P(f) = (P(a) - P(b)/(a-b))*f + (aP(b) - bP(a)/(a-b))*IdE

Encore merci !

[girdav]

Bonjour,
comment écrirais-tu la division euclidienne de par (en terme d'égalités entre polynômes)?