Vecteur propres URGENT

[rod]

Bonour,

j'ai un problème avec les vecteur propres, j'arrive pas à les trouver les solutions un fois que j'ai mon système (A-lanbda* I)... je c qu'il fo jouer avec les lignes ( les soustraire et ... ) mais quand estce qu'on s'arrete ???
IL ya pas uen méthode qui marche bien car a chaque fois que je jou avec les lignes je me plante !!!!
en plus si je croit qu'on peut en vaoir un einfinité ... qui on la meme direction ...

Merci de me deonner de l'aide à cela car g mon partiel dans 3 jours ...

[abcd22]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par « quand est-ce qu'on s'arrête » ?
Avant de chercher des vecteurs propres il faut déjà trouver les valeurs propres de la matrice, ce sont les racines du polynôme caractéristique, qu'on peut calculer en petite dimension ou dans des cas particuliers (si on n'a pas de logiciel pour le faire).
Si on sait que b est une valeur propre de A, on résout le système AX = bX (soit (A-bIn) X = 0) pour trouver les vecteurs propres correspondant à cette valeur propre. C'est la résolution d'un système linéaire classique, tu peux faire un pivot de Gauss par exemple, qu'est-ce qui te pose problème dedans ?
Si le corps de base est infini tu auras forcément une infinité de vecteurs propres de même direction : si AX = bX, pour tout m dans K, A(mX) = mAX = mbX = b(mX), toute la droite de direction X est constituée de vecteurs propres pour b.

[rod]

ben si j'applique gauss ma dernière ligne sera du type 3z=0 et donc ma dernière composante sera toujours nulle...
enfait je cherche une méthode rapide et efficace ...

[abcd22]

Qu'est-ce qui te gêne dans le fait que la dernière composante soit nulle ? (1,0,0) est un vecteur propre pour et il a deux composantes nulles.

[rod]

avec la méthode de gauss pour la matrice suivante [4,4,3;-4,-4,-3;3,3,3] j'arrive pas à trouver la réponse qui doit etre d'aprés ma prof [1;-1;0]...
c nête comme problème mais ca me bloque je ne c pas pourquoi ...

[abcd22]

Je suppose que c'est le noyau que tu cherches là ? C'est même pas la peine de faire des calculs, les deux premières colonnes sont égales donc (1,-1,0) est vecteur propre pour 0 !

[rod]

ben la je cherche a résoudre ce système qui doit me donner le vecteur propre ... j'ai une autre question ma prof poura un veteur propre égale a [2;3;3]et moi j'ai touver [2/3;1;1] c la meme chose a un scalaire 3 prés ... il faut prendre quoi le plus petit ou des chiffres rond??? car si je veut former une base propre ca change suivant si je prend l'un ou l'autre ...

Je te remerci beaucoup de m'aider !!!!

[abcd22]

Tu peux prendre celui que tu veux, en général on préfère avoir des chiffres ronds pour simplifier mais ça ne change pas grand chose.

[rod]

g une autre question si on a une valeur prores nulle le vecteru propres et nul ???

[abcd22]

Par définition un vecteur propre ne peut pas être nul, mais 0 peut être valeur propre, dans ce cas les vecteurs propres pour 0 sont les éléments du noyau.

[rod]

j'ai une autre question lorsqu'on a une valeur propres de multipilicité deux on doit trouver 2 vecteurs propres différents ???sinon commetn en trouver deux différents ?

Si on a une valeur de multipicité 2 ou plus les vecteur propres sont pas indépendants et donc la matrice n'est pas diagonalisable ... ?

Merci de vos réponses !!!!!

[abel]

Salut
- Là c'est le cas "compliqué" car en fait : soit le noyau de (M-k*I) est de dimension 2 pr la valeur propre k donc là on peut trouver 2 vecteurs propres non proportionels, sinon si le ss espace propre associé à k est de dimension 1 (+ générallement inferieur a la multplicité de la vp) alors là ta matrice n'est pas diagonalisable (car la def d'une matrice diago c'est que E=somme des Ker(M-ki*I)). donc si on n'a pas les bonnes dimensions, ca risque pas de marcher)
ex : I2 possède 1 comme valeur propre de multiplicité 2 et elle est diagonalisable (en elle meme)
(g pas d'exemple pr les autres mais ca existe)

[rod]

je te remercie pour ta réponse !!! g compris !