Changement de variable

[Malo38]

bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide.

On me demande de calculer l'intégrale : I= intégrale de a à b de dx/(x(racine(x²-2)))
en utilisant le changement de variable x=1/t
j'obtient I= intégrale de 1/a à 1/b de (-1/t)*((1/t²)-2)^-1/2*dt
est vous daccord jusque là?
apres ca je bloque, on me dis que ma derniere expression est égale à :
-dt(racine(1-2t²)), je ne vois comment. quelqu'un peux m'expliquer.

on me demande ensuite de faire un changement de variable evident :
si cette derniere expression est juste je suis tentée de faire t=sin u
mais je m'en sors pas.

des idées?

[Ben314]

des idées?

Oui, quelques unes :
1) Eviter de se gourrer en dérivant x=1/t qui est sensé donner dx=-1/t²dt.
2) Simplifier l'expression trouvée en utilisant le fait que, pour on a

[Malo38]

Oui, quelques unes :
1) Eviter de se gourrer en dérivant x=1/t qui est sensé donner dx=-1/t²dt.
2) Simplifier l'expression trouvée en utilisant le fait que, pour on a

super merci je retrouve mon expression!

donc j'ai I=intégrale de 1/a à 1/b -dt/racine(1-2t²)
je pose x=sin u?

[Malo38]

si je pose t=sinu

j'obtient : (-cos u.du)/(1-2sin²u)=(-cos u.du)/(cos 2u)

je ne parviens pas à identifier une dérivée connue

ou ais je fais une erreur?

[Ben314]

LE changement de variable a faire quand la fonction à intégrer contient un racine(ax²+bx+c) est effectivement de ce type, MAIS, il faut commencer par faire un premier changement de variable pour transformer le ax²+bx+c en un 1-u² PUIS un posera u=sin(t) de façon a avoir racine(1-u²)=racine(1-sin²(t))=racine(cos²(t))=|cos(t)|. C'est ça qu'il faut absolument avoir à l'esprit (i.e. ne pas apprendre "par coeur" une méthode sans savoir POURQUOI ça marche.
Par exemple, ici, si tu pose x=sin(t) tout de suite, tu va avoir racine(1-2x²)=racine(1-2sin²(t)) et je voudrais bien savoir ce que tu va en faire...
Essaye de trouver tout seul (c'est "presque" x=sin(t), mais on voudrait avoir 1-sin²(t) et pas 1-2sin²(t)...)

[Ben314]

(-cos u.du)/(1-2sin²u)=(-cos u.du)/(cos 2u)

Où c'est y qu'elle est passée la racine ? où c'est y ?

[Malo38]

Où c'est y qu'elle est passée la racine ? où c'est y ?

oui exact avec la racine au dénominateur, Ben 314 au secours!

[Malo38]

oups j'avais pas vu ta reponse avant la derniere.

donc si je fais un second changement de variable :t=u/2 (bornes 2/a et 2/b)
j'obtient : -2.du/racine(1-u²)
puis un troisieme changement de variable : u=sin w (bornes arc sin 2/a et arc sin 2/b)
j'obtient : cos w.dw

donc une prmitive : sin w

ok??

[Black Jack]

Juste pour info:

Proposition d'un autre changement de variable (qui saute au yeux avec un rien de pratique)

dx/(x.V(x²-2)) = dx x/(x².V(x²-2))

Changement de variable proposé : x² - 2 = 2t²

On arrive alors directement à :

dx/(x.V(x²-2)) = (1/V2).dt/(t²+1)

Ce qui est alors immédiat.

:zen:

[Malo38]

oups j'avais pas vu ta reponse avant la derniere.

donc si je fais un second changement de variable :t=u/2 (bornes 2/a et 2/b)
j'obtient : -2.du/racine(1-u²)

ok??

=> j'ai pas fait une erreur là c'est pas plutot
-du/2racine(1-u²)??

[Malo38]

=> j'ai pas fait une erreur là c'est pas plutot
-du/2racine(1-u²)??

au second changement de variable, je pose t=u/2, donc dt/du=1/2, non?

d'où -du/2racine(1-u²)

le probleme c'est qu'apres le 3eme changement d evariable j'obtient alors :

cos w/2cos w=1/cos w

[Malo38]

bon je reprend :

j'ai I=intégrale de 1/a à1/b de -dt/racine(1-2t²)

je pose t=(sin u)/2 dt/du=1/2.cos u

j'obtient alors : -cos u.du/[2.racine(1-sin²u)]=-cos u.du/[2racine(cos²u)]=
1/2intégrale-cos u/cos u=1/2intégrale -1
d'où I=[-u] de arc sin 2/a à arc sin de 2/b, ce qui me donne une valeur négative alors qu'elle devrait etre positive

[Malo38]

s'il vous plait j'ai besoin d'aide

[Nightmare]

Salut,

si x est négatif !

[Malo38]

oui evidement.

Mon probleme c'est que j'ai aproximé la valeur de mon intégrale dans une premiere partie à l'aide des methodes des rectangles et des trapezes, j'ai trouvé entre les bornes 2 et 4 une aire d'environ 0.31

et là je trouve I=1/2 [u] entre les bornes pi/2 et pi/6=0.523

je ne trouve donc mon aproximation, pourquoi?

[Malo38]

Merci à tous, j'ai trouvé.

[Ben314]

La méthode donnée par Black Jack est bien plus rapide, mais ne colle pas vraiment avec les "indics" données dans ton exercice.
Tu devrais quand même la faire (ensuite) pour vérifier que tu y arrive.

Pour ce qui concerne le(s) changement(s) de variable(s), dans un cas "simple" comme ici, on n'est pas obligé d'en faire deux, un seul "bien compris" suffit :
On veut que 1-2t²=1-(sin(u))², c'est à dire que t²=(sin(u))²/2 et donc que t=sin(u)/racine(2).
ce qui donne dt=cos(u)/racine(2) du et, pour que t varie de 1/a à 1/b, il faut faire varier u de arcsin(racine(2)/a) à arcsin(racine(2)/b).

Essaye de continuer, mais fait attention, comme au départ a1/b ...