Problèmes sur logarithme néperien

[Cynthiiou]

Bonjour !
J'ai un exercice à faire pendant les vacances, et je ne vois pas comment résoudre la premiere question !

Voici le sujet :
Une entreprise fabrique un produit en quantité x, exprimée en milliers de tonnes.
Le cout total de la fabrication est donné pour x appartient à [0;5] par :
CT (x) = (x²/2) + (9/2) ln (x+1)
Les couts sont exprimés en centaines de milliers d'euros.

A- Etude d'une fonction auxiliaire.

On considère la fonction f définie sur [0;5] par :

f(x) = (x²/2) + (9x/(x+1)) - 9 ln(x+1)

1- Calculer f'(x)
Et vérifier que l'on peut écrire f'(x) = x(x-2)(x+4) / (x+1)²

J'ai séparé les quotients et les ai dérivées un par un soit :

f'(x²/2) = x
f'(9x/x+1) = (18x+9) / (x+1)²
f'(-9 ln(x+1)) = -9 (1/x+1) soit -9/(x+1)

est ce la bonne marche à suivre ? J'ai un doute car apres quand je met tout au même dénominateur je n'arrive pas à la fonction de vérification qui est donné !
Merci d'avance !

[delphine85]

l'idée est là. tu dois bien dérivée chaques morceaux puisque la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées.

Cependant pour des question d'écriture tu ne peux absolument pas écrire:
f'(x²/2) = x

à la rigueur tu l'appeles autrement par exemple f1(x)= x²/2 et tu dis que
f1'(x)=x ! tu vois la différence???

ensuite revois ta deuxième dérivée: f2(x)=9x/x+1
f2'(x) n'est pas égale à (18x+9) / (x+1)² c'est de la forme u/v !!!!

[Cynthiiou]

Oui d'accord ! c'est vrai que mon écriture n'était pas appropriée !

pour f2'(x) je dérive alors de façon u'v+uv' /v²
ce qui me donne 9(x+1) + 9x / (x+1)²
est ce ça ? je ne dois pa developpé plus ?

Merci de votre aide !

[delphine85]

"pour f2'(x) je dérive alors de façon u'v+uv' /v²"
attention à ta formule!!!!!

[Cynthiiou]

faute d'innatention ! désolé !

Donc f2(x) = 9 / (x+1)²
je vais voir si j'arrive à aller au delà maintenant afin de vérifier par lautre fonction donnée !

Merci beaucoup !

[Cynthiiou]

C'est encore moi !

lorsque je ré-écrit la fonction avec toutes les dérivées cela me donne :

x + -

= + -

et ensuite dois-je continuer le developpement ?

[delphine85]

effectivement ça donne ça!
Ensuite tu mets tout ça sur une seule fraction et tu cherches à te rapprocher de ce qu'on te demande c'est à dire:
f'(x) = x(x-2)(x+4) / (x+1)²

tu as déjà le dénominateur.
essaye d'avoir le x en facteur devant, et regarde ce qu'il te reste!

[Cynthiiou]

J'ai réussi ! Merci beaucoup !

Car vu que x(x-2)(x+4) = x ( +4x-2x-8)

apres résolution de 'équation de tout à l'heure j'arrive au même résultat :happy2:

[Cynthiiou]

Bonjour !

en deuxiemement on me demande le tableau des variations de f sur [0;5].

J'ai dit que les variations de f dépendait du signe de la dérivée.
J'ai donc dit que est toujours positive sur [0;5]

ensuite j'ai décomposé le numérateur :

x est positive sur [0;5]
(x-2) est négative en [0;2] et positive en [2;5]
(x+4) est positive sur [0;5]
et donc que f'(x) est négative en [0;2] et positive sur [2;5]

Ensuite pour faire le tableau des variations de f, je ne peux le déduire de celui de f'(x) car f(x) atteint son minimum en 1 (et pas en 2 )
Je ne vois pas comment faire, il doit y avoir juste un petit truc a faire mais je ne le trouve pas !

merci de m'aider :we:

[Cynthiiou]

Je viens de me rendre compte que ma démarche est mauvaise !
ne faut-il pas plutot faire en fonction simplement de f'(x) ? etant donné que f'(x) est positif la fonction f serait positive sur [0;5] .

:hum:

merci d'avance :help:

[Cynthiiou]

Je ne vois vraiment pas comment faire le tableau de variation de f :cry:
Mercii si vous pouvez m'aider !

[Sylviel]

si ta dérivée est donnée par f'(x) = x(x-2)(x+4) / (x+1)²
il faut que tu en trouves le signe pour faire ton tableau.
Comment fais tu pour déterminer le signe d'un produit ?

[Cynthiiou]

On prend le signe de chacun des facteurs

x : +
(x-2) : -
(x+4) : +

donc un facteur est négatif soit un nombre impair de facteurs négatifs.

x(x-2)(x+4) est donc négatif??

[Cynthiiou]

et (x+1) est positif !

[Sylviel]

quel intervalle regardes-tu ? Si c'est [0;5] il y a un changement de signe dedans... Sinon l'idée générale est bonne.

[Cynthiiou]

ah oui pour (x-2)c'est négatif sur [0;2 ] et positif sur (2;5] ce qui donne pour f'(x) qu'elle est :

-négative sur [0;2]
-positive sur [2;5]
et égale à 0 en 0 et 2 !

Mais où je bloque c'est pour determiner d'apres cela les variations de f(x)

[Sylviel]

je ne vois pas où est le problème si la dérivée est positive la fonction est croissante, si elle est négative la fonction est décroissante, non ?

[Cynthiiou]

oups !

c'est pourtant ce que je faisais mais je ne trouvait pas la même chose lorsque je regardai sur la calculatrice mais j'avais mal tapé ma fonction ! :id:
Désolé !

Merci

[Cynthiiou]

Ensuite on me demande de déduire que f s'annule sur ]0;5] pour une valeur unique !

C'est a dire lorque f(x) = 0 ??

[Sylviel]

oui tu dois montrer que f ne passe qu'une fois par 0 (fonction strictement monotone etc)...