Equation différentielle

[Spirounet]

Bonsoir,
Pour mon équation du 1er ordre, on me demande de déterminer les solutions de l'équation l'équation homogène (E0) associée à (E) et une solution y1 de (E)
mon équation est y' + (1 - 1/x)y = x
J'en suis à |y| = Kxexp(-x)
Je ne vois pas comment poursuivre pour trouver les solutions

[Ben314]

Salut,
Tout d'abord, la valeur absolue autour du y, tu l'enlève en décretant que cet K qui "porte le signe".

Ensuite, pour trouver une solution particulière tu peut :

1) Essayer 2 ou 3 fonctions simples "pour voir" ou mieux, des classes de fonctions, par exemple (essai à faire trés fréquement), tien, si j'essayait de voir si y'a pas un polynôme qu'est solution... (ici tu devrait trouver en... mettont 2 minutes)

2) Le grand classique : la variation de la constante : tu écrit que y = K x exp(-x) où K est une fonction de x. Tu réinjecte ça dans ton équa diff et du doit tomber sur une équation de la forme K'=???, c'est à dire sur un calcul de primitive.

[Spirounet]

y = K x exp (-x)
y' = - exp (-x)

y' + (1 - 1/x)y = x

-exp -(x) + K x exp (-x) - K exp (-x) = x

(-1 + Kx -K) exp (-x) = x

J'en arrive la, pour la suite je fais quoi?

[Ben314]

Ben.... arrivé là, tu remonte de 4 lignes et tu recommence :
Si y = K x exp (-x) où K est une fonction de x
alors y' =K' x exp(-x) +K( 1 exp (-x) - x exp(-x) )
.
.
.

[alavacommejetepousse]

je vois pas comment on en arrive à l y l ? et si le signe dépendait de x?

la résolution "sale" nécessite des arguments alors qu 'il suffit d 'apprendre une fois pour toute la forme des solutions.

[Spirounet]

ah ok je refais, malgré que tu l'es dit j'ai pris K pour constante, désolé

[Spirounet]

par contre pour y' je vois bien le K'(x exp (-x) mais l'autre terme j'aurais plutôt eu + K (-x exp (-x))

[Spirounet]

Je crois que je viens de comprendre c'est parce que je ne dérivais pas le x, donc j'arrive en remplacant y' et y

K' x exp (-x) = x

[Spirounet]

K' = exp x

[Spirounet]

Donc K = exp (x) aussi logiquement

[Spirounet]

D'ou ma solution particulière
y1 = x ??
Mais pour les solutions de l'équation homogène (E0) je dois mettre quoi, sous quel forme
y0 = Kx exp(-x) ?

[Ben314]

Donc K = exp (x) + Cst aussi logiquement

mais le "+Cst" ne sert à rien si on cherche juste UNE solution.

Aprés, pour les solutions de (E) je te "rapelle" qu'elle sont de la forme :
Solution_particulière + Solutions_de_l'équation_homogène_associée

je vois pas comment on en arrive à l y l ? et si le signe dépendait de x?

En général, il est sous entendu dans une équadiff. que l'on cherche une fonction y assez régulière, en particulier... dérivable (donc qui ne change pas de signe comme de chemise...)

[Spirounet]

On ne me demande pas la solution générale de (E), juste les solutions de l'équation homogène (E0) associée à (E) et une solution particulière y1 de (E)
Donc,
ma solution particulière est bien notée y1 = x ? (Cst sous entendue)
et mes solutions de l'équation homogène (E0) sont de la forme y0 = K x exp (-x)?
Merci de ton aide, même si c'est certainement pas fini

[Ben314]

C'est parfaitement cela.

Si tu veut être "vicieux", tu peut aussi dire qu'une solution particulière est
y1 = x + (130965/65536) x exp (-x)
en prenant comme constante d'intégration 130965/65536... :zen:

[Spirounet]

Lol merci beaucoup de ton aide, j'ai saisi pas mal de truc et j'imagine que c'est toujours le même système pour les autres équation du premier ordre, donc merci
:happy2:

[Ben314]

A mon avis, dans une équa-diff de ce type, il faut aussi un peu essayer la "méthode 1)", celle consistant à essayer "un peu au pif" de trouver une solution particulière : ici, en cherchant un peu, on "voit" que y=x fonctionne.
Perso, je ne fait la variation de la constante que quand, en tatonant un peu, je n'ai pas trouvé "au pif". En plus, la méthode "au pif" finit par donner plus "d'intuition" sur les équadiff (le "seul" inconvénient, c'est que des fois... ça marche pas... :doh: )