Groupes

[burton38]

bonjour, voila je bloque sur l'exercice suivant.
G est une groupe de cardinal pq avec p et q premiers tels que pon suppose qu'il existe dans G un element x d'ordre p et un element y d'ordre q. On note H le sous goupe engendré par y.

1)a)Soit K = xHx^-1 = {xhx^-1, hH}
montrer que K est un sous groupe De G de cardinal q
b) montrer que si HK = {e} alors l'application : (h,k) dans HxK ->hk dans G est injective (attention ce n'est pas un morphisme).
c) en deduire que xHx^-1 =H

2) montrer qu'il existe k tel que xyx^-1=y^k avec k=0 mod[q]

3) calculer x^iyx^-i pour tout i dans N

je bloque a la question 3 :marteau: help please

[yos]

2) montrer qu'il existe k tel que xyx^-1=y^k avec k=0 mod[q]

k=0 mod q ??? Relis ton énoncé.

3) calculer x^iyx^-i pour tout i dans N

Regarde pour i=2

[burton38]

tu as raison c'est k different 0[q].
merci bien

[burton38]

je n'arrive pas a monter que K^p=1[q].
une idée ?

[yos]

je n'arrive pas a monter que K^p=1[q].
une idée ?

C'est une conséquence du résultat de la question 3 lorsque i=p.

[burton38]

je n'arrive pas a conclure car je ne vois pas comment on introduit la congruence :mur:

[yos]

Tu as dû prouver par récurrence que pour tout entier .
En particulier donc donc mais y est d'ordre q donc q divise .

[burton38]

tu peut me terminer l'exemple que tu m'a fait pour i=2 stp

[yos]

[burton38]

que peut-on dire de l'ordre de k(barre) dans le groupe (U(Z/qZ),x) ?
je ne m'en sort pas :(

[burton38]

c'est bon j'ai trouvé :we:
maintenant si on suppose que k=1[q], comment peut on montrer que g est cyclique ? :hum:

[burton38]

c bon j'ai trouvé. :we:
mais maintenant si on suppose k=1[q] comment etablir que G est cyclique ? :hum:

[yos]

Tu as donc prouvé que xy=yx.
Quel est l'ordre de xy?

[burton38]

c'est pq donc g est cyclique car il est engendré par xy ?

[yos]

oui c'est ça.

[burton38]

mais comment on se sert de k=1[q] ?

[yos]

k=1+mq montre que donc que xy=yx.