Intégrales généralisées

par **Airliner737** » 29 Déc 2009, 18:22

Bonjour,

J'arrive pas à trouver l'erreur que j'ai faite pour déterminer la convergence de cette intégrale:

int [(sint)^a/|lnt|^b] entre 0 et 1/2 avec a et b réel.

Ma solution:

La fonction est continue et positive sur ]0,1/2]. De plus lim (sint)^a/|lnt|^b vaut 0 quand t tend vers 0. On peut donc prolonger par continuité en posant f(0)=0 donc l'intégrale est convergente.

La solution du corrigé:

Ils raisonnent avec les équivalents et cela revient à étudier l'intégrale t^a/|lnt|^b et ensuite ils concluent avec Bertrand.

Merci-

ps: comment on fait pour écrire les symboles mathématiques?

par **girdav** » 29 Déc 2009, 18:27

Salut.
Le résultat que tu énonces sur la limite en

de la fonction à intégrer dépend des paramètres

et

. Que vaut-elle par exemple quand a

et

?

par **Airliner737** » 29 Déc 2009, 18:39

Merci j'ai compris...pourtant j'avais vérifié les différents cas :cry:

Par contre j'ai aussi fais une autre méthode dont je ne comprends pas l'erreur.

J'ai majoré le (sint)^a par 1 on a donc : (sint)^a/|lnt|^b < 1/|lnt|^b
puis avec Bertrand et le théorème de comparaison (les fonctions sont bien positives) on conclue que c'est convergent pour tout a,b... je sens que l'erreur vient de la division par ln|t|^b

par **girdav** » 29 Déc 2009, 20:26

Avec ta majoration tu peux déduire que si l'intégrale de

converge alors l'intégrale de départ converge.
Mais tu n'as qu'une implication.
Comme on travaille avec la valeur absolue, on a affaire à des fonctions positives, donc avec les équivalents, on a... équivalence entre la convergence des intégrales des fonctions de chaque côté du symbole

.

par **Airliner737** » 30 Déc 2009, 12:29

j'ai bien compris la méthode avec les équivalents mais je ne comprends pas le problème avec l'implication: celle de droite converge donc celle de gauche converge, cette méthode ne nous donne pas de conditions sur a et b et pourtant elle est pas fausse...

par **girdav** » 30 Déc 2009, 13:11

Cette méthode te permet de dire que le domaine de convergence est inclus dans celle de l'intégrale de droite. Mais on ne peut pas le déterminer exactement avec cette méthode.
C'est pourquoi la méthode des équivalents est ici plus efficace.

par **Airliner737** » 04 Jan 2010, 14:41

Merci c'est maintenant clair et bonne année! :we:

Intégrales généralisées

Intégrales généralisées

Qui est en ligne