Equation differentielle

[klara]

bonjour ' j'ai un probleme pouvez vous m'aider svp
merci
r^2 + ar + b = 0 (l’équation caractéristique)

1) on suppose que l’ équation caractéristique admet 2 racines réelles r1/=r2.

a)montrer alors que f1 : e^r1x et f2 : e^r2x sont solutions de l’équation différentielle : y’’+ ay’+ by = 0 ( § )

b) montrer que la famille (f1,f2) est libre

c) en déduire qu’une solution générale de ( § )est de la forme :
y(x)=Ae^r1x + Be^r2x , avec (A,B) appartient R





2) on suppose ,que l’équation caractéristique admet 2 racines double r .
montrer qu’une solution générale de (§) est de la forme :
y(x)= (A + Bx)e^rx avec (A,B) appartient R



3) on suppose finalement que l’équation caractéristique admet 2 racines complexes conjuguées c + id et c - id (cet d des réels)

a) établissez des relations entre (c,d) appartient à R et ( A,B) appartient à R l’équation différentielle (§).

b) montrer que la solution générale de ( § ) est alors de la forme :
y(x)= e ^cx ( Acos(dx) + Bsin(dx))

[sirglorfindel]

Il me semble que c'est une question de cours
1) a)pour vérifier que f1 et f2 sont solutions de (§), il faut calculer f'1, f''1, f'2 et f''2 puis tu calcules : f''1+af'1+bf1 et tu dois trouver 0 (n'oublie pas que r1 et r2 sont solutions de r²+ar+b=0...). Tu fais pareil pour f2

b) pour vérifier que (f1,f2) est libre, il faut écrire a1 * f1 +a2 * f2=0
Ceci doit être vrai pour toute valeur de x, donc tu prends deux valeurs de x (par exemple 0 et 1) et tu obtiens deux équations à deux inconnues (a1 et a2) et tu dois trouver a1=a2=0.

c) tu dois savoir que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension deux et comme on a trouvé deux solutions qui sont indépendantes l'une de l'autre, (f1,f2) est une base...

2) tu fais comme à la question précédente avec f1(x)=e^(rx) et f2(x)=xe^(x) (tu vérifies qu'elles sont solutions de l'équa diff, que (f1,f2) est libre...)

3 a)le principe de fonctionnement est le même...

[klara]

vraimen merci