Petite incompréhension en algèbre

[mathieu444]

Bonjour, j'ai un problème qui me demande de montrer si 3 vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendants. Or, je sais que si je peux fabriquer 1 de ces vecteurs par combinaison linéaire des deux autres, ils sont linéairement dépendants. Disons que les vecteurs sont u, v et w. Si w=a(u) + b(v) est impossible, cela signifie que w n'est pas combinaison linéaire des deux autres. Or, est-ce que cela prouve que les trois sont indépendants, ou je dois faire d'autres essais, par exemple avec v = w + u etc..?


De plus, je n'ai pas de difficulté à résoudre un système de deux équations à deux inconnus, qu'on retrouve dans une situation suivante:

En dimension 2 (R2), par exemple on essaie de démontrer si w = a(u) + b(v) et que par exemple w = (0,5) u = (3,3) et v = (7, -2)

cela donnerait
(0,5) = a(3,3) + b(7,-2)
(0,5) = (3a+7b, 3a-2b)

ensuite, on a que

3a+7b = 0 et 3a-2b = 5

Il suffit ensuite d'isoler a ou b dans la première équation, et de remplacer a ou b dans la deuxième.

Mon problème est lorsque j'essaie de faire la même démarche mais dans un système à trois dimensions (R3).

On arriverait par exemple à

(0,5,6) = a(3,3,6) + b(7,-2,6)
(0,5,6) = (3a+7b, 3a-2b, 6a+6b)

avec

3a+7b=0
3a-2b=5
6a+6b=6

Rendu ici, je dois faire la même étape que si on était en R2, c'est bien cela? J'isole par exemple le a dans 3a+7b=0, qui donnerait que a = (-7/3)b. Ensuite de cela, qu'est-ce que je dois faire? Est-ce qu'il faut que je remplace a par (-7/3)b dans les deux autres équations? Par exemple, si je trouve dans les deux équations une valeur de a qui est pareille, cela signifie que les vecteurs sont dépendants, et si je trouve 2 valeurs différentes, cela signifie qu'ils sont indépendants??

Merci d'avance de m'éclaircir sur le sujet!

[mathieu444]

S'il vous plaît, personne ne sait?? Je veux simplement savoir si en remplaçant a ou b, je dois faire cela dans les 2 autres équations, et si le fait que cela donne une valeur différente pour a et b dans les 2 signifie que l'équation n'admet pas de solution (donc les vecteurs sont linéairement indépendants).

[mathieu444]

Oh je viens peut-être de trouver.

Est-ce qu'il faut, après avoir trouvé que a = 4+5b par exemple, que j'additionne les 2 autres équations?? Et en suite je peux essayer de substituer?

[Florélianne]

Bonjour,
Or, je sais que si je peux fabriquer 1 de ces vecteurs par combinaison linéaire des deux autres, ils sont linéairement dépendants. Disons que les vecteurs sont u, v et w. Si w=a(u) + b(v) est impossible, cela signifie que w n'est pas combinaison linéaire des deux autres. Or, est-ce que cela prouve que les trois sont indépendants, ou je dois faire d'autres essais, par exemple avec v = w + u etc..?
Si tu cherches ainsi, c'est insuffisant, si tu veux proouver qu'ils sont linéairement indépendants (ou libres) il faut prouver :
Si a, b, c sont des nombres réels tels que: au +bv + cw =0 (avec la flêche sur u, v, w et 0) alors a=b=c=0

3a+7b=0
3a-2b=5
6a+6b=6
c'est un système de trois équations à deux inconnues donc:

• ou l'une est inutile (combinaison linéaire des deux autre)
• ou il n'y a pas de solution (une condition de trop !)

remarque :
la dernière peut être simplifiée par 6 : a+b=1

maintenant si tu retires la 2° égalité à la première tu obtiens : 9b=-5 d'où b= -5/9
de la 3° tu tires a=1-b=1+ 5/9 = (9+1)/9=10/9
il reste à vérifier que les valeurs a et b trouvées conviennent à la 2° égalité si oui tes vecteurs sont colinéaires, tu as fini, si non, tu ne peux pas conclure.

En espérant avoir répondu à ton attente...
Très cordialement

[mathieu444]

Ok donc si j'ai bien compris, si une question me demande de prouver que c vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendants, au lieu de montrer qu'un vecteur est combinaison linéaire de 2 autres, je devrais plutôt montrer que av1 + bv2 + cv3 = vecteur nul, et que si cela n'est possible que pour a=b=c=0, ils sont indépendants, tandis que s'il y a une autre valeur possible de a,b, ou c qui fait en sorte qu'au moins 1 des vecteurs n'est pas nul, ils sont linéairement dépendants?

[Florélianne]

re-bonsoir,
Oui. Si tu as trois vecteurs dont deux sont colinéaires (ou liés) et que tu essaie d'écrire le troisième en fonction des deux premiers tu n'y parviendras pas sauf s'ils ont tous les trois la même direction.
en choisissant au+bv+cw=0 (en vecteur) tu évites ce problème... puisque tous les vecteurs jouent le même rôle.
On comprend mieux pourquoi tu avais trois équations...
Dans ce que tu faisais tu donnais la valeur 1 (ou -1) à l'un des trois coefficients... donc le cas ou il serait nul était exclus.
Bonne soirée