ALGÈBRE : nombres complexes

[Badmonster]

Bonjour !
Je bloque sur un exercice de math ! :mur:

Je m'excuse d'avance, je ne sais pas utiliser les balises pour écrire de jolies formules !
Bref, voila l'exercice :

On considère le nombre complexe z = 1+ e^(i thêta )

La première question est très facile, il suffit de vérifier que z= e^(i thêta/2) (e^(-i thêta/2) + e^(i thêta/2 )

Il faut ensuite en déduire le module de z, ce que j'ai fait ( je trouve 2 ) mais il faut ensuite trouver l'argument de z, sachant que thêta est compris entre -pi et pi.

Seulement je ne vois pas comment trouver la valeur de thêta...

Merci d'avance !
Bonne journée à tous

[gg42]

tu mets z sous forme algebrique donc sa va faire z =a+bi donc cos teta=a/module de z et sin teta=b/module de z et tu deduit teta comme ca

[Badmonster]

Alors j'ai essayé avec la méthode que tu m'as indiqué :

On obtient donc z= 1 + cos T+ i sin T
avec |z|=2.

Soit cos T= (1 + cos T ) /2
2 cos T = 1+ cos T
cos T = 1

Et sin T = (sin T)/2
soit sin T = 0

Ce qui ferait un argument de ... 0 ?

[gg42]

a ouè mais merde vu que ta pa Téta enfaite ca doit pas marcehr ce que je te dis excuse moi je suis en STI ^^

[nix386]

ici je note par a theta
z = 1+cosa + i sina
=2cos²(a/2) + i(sin(2a/2))
=2cos²(a/2) + i 2sin(a/2)cos(a/2)
= 2cos(a/2)(cos(a/2)+isin(a/2))
=2cos(a/2) exp(ia/2) avec 2cosa/2>=0 car-Pi/2<a/2<Pi/2

Autrement

[Black Jack]

Bonjour !
Je bloque sur un exercice de math ! :mur:

Je m'excuse d'avance, je ne sais pas utiliser les balises pour écrire de jolies formules !
Bref, voila l'exercice :

On considère le nombre complexe z = 1+ e^(i thêta )

La première question est très facile, il suffit de vérifier que z= e^(i thêta/2) (e^(-i thêta/2) + e^(i thêta/2 )

Il faut ensuite en déduire le module de z, ce que j'ai fait ( je trouve 2 ) mais il faut ensuite trouver l'argument de z, sachant que thêta est compris entre -pi et pi.

Seulement je ne vois pas comment trouver la valeur de thêta...
Merci d'avance !
Bonne journée à tous

On ne te demande pas de trouver la valeur de theta mais bien de trouver un argument de z (qui dépend de theta)

(e^(-i theta/2) + e^(i theta/2 ) = 2.cos(theta/2)

Pour theta dans ]-Pi ; Pi[, on a theta/2 dans ]-Pi/2 ; Pi/2[ et donc 2.cos(theta/2) > 0
---> arg((e^(-i theta/2) + e^(i theta/2 )) = 0

arg(z) = arg(e^(i theta/2)) + arg((e^(-i theta/2) + e^(i theta/2 ))
arg(z) = arg(e^(i theta/2))

Et donc arg(z) = ...

:zen: