Algèbre, 3 variables

[Ashantael]

Bonjour, je suis du Québec et je ne suis pas certain d'être dans le forum du bon niveau scolaire mais bon...(ici c'est primaire -> secondaire -> CÉGEP -> Université)

J'ai terminé le secondaire il y a quelques années déjà et je ne me souvient plus comment résoudre cette énigme de façon mathématique:

1 poulet coute 0,50¢, 1 cochon coute 5$ et une vache coute 10$. Avec 100$, combien de chaque animal doit on acheter pour avoir en tout 100 animaux?

Donc, algébriquement ça se traduirait:
a/2+5b+10c=100
a+b+c=100

(a=nombre de poulets, b=nombre de cochons, c=nombre de vaches)

Ma logique était d'isoler les variables (ex: a=100-b-c) pour les remplacer (a+b+c=100 devient 100-b-c+b+c=100) mais c'est là que je vois que ça ne fonctionne pas car cette équation une fois réduite me donne 100=100, ce qui ne m'aide pas beaucoup.

Si ça peut vous aider, la réponse est 90 poulets, 9 cochons et 1 bœuf... C'est assez facile à trouver par essai/erreur mais où est le défi!?

Merci de votre aide!

[Florélianne]

Bonjour, cher cousin canadien,

• Tout d'abord tu as un système de deux équations à trois inconnues ce qui veut dire que tu ne devrais pas avoir une solution unique, il faudrait une troisième équation pour cela

• Mais tu as une dernière condition : a, b et c sont des entiers naturels

a/2+5b+10c=100
a+b+c=100

donc choisissons des coefficients entiers:
a+10b+20c=200
a+b+c=100

par soustraction membre à membre on obtient:
9b+19c=100
a=100-b-c

maintenant nous devons résoudre 9b+19c=100
si u et v forment une solution c'est à dire si 9u+19v=100
alors 9(b-u)+19(c-v) =0
donc 9(b-u) = 19(v-c)

• 9 divise 19(v-c) mais ne divise pas 19 donc 9 divise v-c donc v-c = 9k ou c= v-9k

• 19 divise 9(b-u) mais ne divise pas 9 donc 19 divise b-u donc b-u = 19q ou b= u+19q

maintenant d'après Bezout on sait qu'il existe n et p entiers relatifs tels que :
9n+19p=1
on voit que 9(-2) + 19(1)=1
donc -200 et 100 sont solutions de l'équation
donc u = -200 mais il est négarif !


b= u+19q b=-200+19q
b 81 +19c = 100 19c = 100-81
19c = 19 donc c= 1 est une solution
a= 100-9-1=90
donc a = 90 ; b= 9 et c = 1 est une solution

est-elle unique ?
si q= 12
b=-200+19(12) = -200+228 = 28
9x28 > 100 donc pas d'autre solution (c serait négatif)
donc q> 11 impossible

En espérant avoir répondu à ton attente
Très cordialement

[Ashantael]

Merci pour le coup de main!

Tout compte fait, je crois que je n'avais jamais appris à faire ça! Je bloque particulièrement au théorème de Bézout. Je ne comprends pas comment on fait pour déterminer que n=-2 et p=1.

Merci de votre patience! J'avais presque oublié à quel point j'aime apprendre! Je crois que je n'arriverai pas à dormir tant que je n'aurai pas tout compris haha.

[Florélianne]

Bonjour,

Le théorème de Bezout ne nous assure que l'existence de ces nombres, ensuite c'est à nous de les trouver !
mais c'est déjà rassurant de savoir qu'ils existent et qu'on ne cherche pas en vain...
Quand les nombres ne sont pas trop grands on les trouve vite : ma méthode calculer (la calculatrice nous simplifie bien le travail) les premiers multiples de chacun jusqu'à en trouver deux consécutifs...
mais ici c'était évident puisque 19 = 18+1...
ça sautait à l'oeil !
Pour te rassurer, je ne pense pas qu'on traite souvent ce genre d'équations qui fait appel à deux domaines distincts de l'algèbre. C'est ce qui le rend délicat... parce que non balisé...
Toute mon estime t'est acquise, j'aime ceux qui veulent aller au fond des choses, sans se contenter d'une réponse toute faite ! L'esprit critique, dans le sens noble du terme, pas mesquin, manque de plus en plus à notre société où tout doit aller toujours plus vite...
Très cordialement

[Ashantael]

Merci! Je comprends parfaitement cet exemple maintenant!

Y a-t-il un moyen de résoudre cet exemple-ci?

a+3b+5c=71
a+b+c=21
(a=5, b=7, c=9)

On peut réduire à b+2c=25 mais on ne peut appliquer le théorème de Bézout puisque l'équation n+2p=1 ne peut fonctionner...

[Florélianne]

Bonjour,
Y a-t-il un moyen de résoudre cet exemple-ci?

a+3b+5c=71
a+b+c=21
(a=5, b=7, c=9)

On peut réduire à b+2c=25 mais on ne peut appliquer le théorème de Bézout puisque l'équation n+2p=1 ne peut fonctionner...

En effet c'est un sujet d'étude intéressant, ce que j'aime avec les nombres entiers c'est que chaque problème est nouveau ! Hélas je ne peux l'étudier maintenant, je suis en retard... mais j'y reviendrai car c'est un défi que je ne peux mépriser ! ^_*
A bientôt

[Florélianne]

Bonsoir,
a+3b+5c=71
a+b+c=21

on obtient 2b+4c= 50 ou b+2c=25 d'où le système :

b+2c=25
a=21-b-c

il faut aussi que b+c < 21 pour que a soit positif !
donc que 0 < b <21 et 0 < c < 21

b+2c = 25 donc 2c = 25 -b
2c est pair ; 25 est impair donc b doit être impair
b < 25 mais on sait déjà b < 21

les solutions sont:
b = 1 ; c = 12 ; a = 8 (b+c = 13)
b = 3 ; c = 11 ; a = 7 (b+c = 14)
b = 5 ; c = 10 ; a = 6 (celle donnée)
...
b = 15 ; c = 5 ; a = 1
il y a donc 8 solutions à ce problème , b est un nombre impair compris entre 1 et 15

Voilà, très cordialement!