Petit exercice de suites

[Pioux]

Bonsoir à tous,

Voila j'ai un exo à faire j'ai déja répondu a quelques questions mais j'aurais besoin d'aide sur 4 questions

Les suites (Un) et (Vn) sont définies sur N par Uo = 3 et les relations U(n+1)=(Un+Vn)/2 et Vn=7/Un

D'après mes réponses on sait que Un>0 et Vn>0, que U(n+1)-V(n+1)=(1/(4U(n+1))*(Un-Vn)², que Un-Vn>=0

1. Prouver que la suite (Vn) est croissante.
Je suis partie de V(n+1)-Vn mais je ne trouve rien

2. Justifier que, pour tout entier naturel non nul, Un>=(21/8)

3.En déduire que, pour tout n de N on a : U(n+1)-V(n+1)<=(1/10)(Un-Vn)²
J'ai essayé de faire une récurrence mais je suis bloqué au niveau de l'hérédité, ou je pense qu'il faut partir de ce que l'on connait déja

4.Démontrer par récurrence que, pour tout n de N on a Un-Vn<=(1/(10^(2^n)-1)
idem j'ai le début mais pas la fin impossible de retomber sur ma conclusion.

[Pioux]

s'il vous plait pouvez vous m'aider

[girdav]

Bonsoir.
Peux-tu me montrer ton calcul pour ?

[Pioux]

V(n+1)-Vn = (7/U(n+1)) - (7/Un)
J'ai remplacé U(n+1)
V(n+1)-Vn = (14/(Un+Vn))-(7/Un)
V(n+1)-Vn = (14Un/(Un(Un+Vn))-(7(Un+Vn)/(Un(Un+Vn))
= 7(Un-Vn)/(Un(Un+Vn))

[girdav]

Oui, et quel est le signe du dénominateur? Tu a donné tout à l'heure celui du numérateur.

[Pioux]

et ben il est >0, Ok alors en faite c'est tout ce que je dois dire ?

[girdav]

Une fois que tu as prouvé que la différence de deux terme consécutifs est positive c'est bon.

[Pioux]

Daccord ! Pouvez vous m'aider pour la suite ?

[girdav]

Pour la deux je pense qu'une preuve par récurrence devrait faire l'affaire. Il y a peut-être plus simple car ils disent simplement de justifier.

[Pioux]

Mais justement je n'arrive pas à la faire la récurrence

[girdav]

Qu'est ce qui te bloque dans la récurrence exactement?

[Pioux]

La premiere etape pas de soucis
Mais c'est quand je dois montrer que U(n+1)>=(21/8) que je n'y arrive pas, j'ai remplacé U(n+1) mais je ne vois pas

[girdav]

Minore en tenant compte du sens de variation de la suite .

[Pioux]

Désolé je ne sais pas comment minoré ..... :s

[girdav]

Ben par hypothèse de récurrence est plus grand qu'un certain truc, et , aide toi des variations de cette suite.