Automorphisme orthogonal

[cece16]

Bonjour,

Je dois résoudre l'exercice suivant "E espace euclidien et S sous-espace de E. v et v' deux vecteurs de même norme orthogonaux à S. Montrer qu'il existe un automorphisme orthogonal laissant invariant tout vecteur de S et transformant v en v'".
Je n'arrive pas à expliciter cet automorphisme.
Merci d'avance pour votre aide

[Nightmare]

Salut :happy3:

Ben, il est quasiment construit cet endomorphisme non? Voici comment je ferais :

S admet un supplémentaire orthogonal H (qui a évidemment un rapport avec v et v').

On peut très bien expliciter cet automorphisme orthogonal par sa matrice dans une base composée d'une base de S et d'une base de H et s'arranger pour avoir une matrice orthogonale.

On sait déjà que les n première colonnes sont de la forme Id pour les n première lignes et 0 pour les p=dim(H) dernières.

Reste à compléter les p dernières colonnes. Je te laisse y réfléchir.

[cece16]

Salut
Tout d'abord merci pour ta réponse.
Je suis tout à fait d'accord avec ce que tu écris. J'aurais aussi écrit la matrice qui a des 1 et des -1 sur la diagonale, à savoir la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à S mais je dois être un peu bête car je n'arrive pas à faire le lien entre v et v'!
Merci d'avance.