Nombres premiers

par **mouath13** » 20 Fév 2009, 21:28

Soit p_n nième nombre premier

*) Montrer que lim sup(p_n+1-p_n)=infini

par **Lemniscate** » 20 Fév 2009, 21:33

Bonjour !

Ou es tu bloqué ?

Au revoir !

par **mathelot** » 20 Fév 2009, 21:40

mouath13 a écrit:Soit p_n nième nombre premier

*) Montrer que lim sup(p_n+1-p_n)=infini

Bonsoir,

est-ce qu'il suffit de constater que les (n-1) entiers successifs

n!+2;n!+3;...,n!+n

sont composés ?
parce que l'intervalle ci-dessus est bien plus à droite, à n fixé, que l'intervalle

par **Lemniscate** » 20 Fév 2009, 21:57

les (n-1) entiers successifs
n!+2;n!+3;...,n!+n
sont composés ?

Cela me semble vrai (enfin j'ai testé pour les petites valeurs de n) mais peux-tu me donner une idée pour le démontrer ?

EDIT : Non c'est bon je vois comment faire ! par exemple 2 divise n!+2, 3 divise n!+3, 4 divise n!+4, k divise n!+k etc... ok merci !

par **mouath13** » 20 Fév 2009, 22:22

c'est quoi un nombre composé svp?

je bloque dès le début

par **uztop** » 20 Fév 2009, 22:27

un nombre composé est un nombre qui n'est pas premier

Sinon mathelot, je pense que ta démo est bonne mais le n est mal choisi, il faudrait plutôt partir de

et considérer L!+2;L!+3;...,L!+L

par **Ptiboudelard** » 20 Fév 2009, 22:39

Meme si nous parlons "mathématiques" sur ce forum, cela n'empêche que les règles de politesse y sont AUSSI d'usage. "Bonjour, s'il vous plait, merci, bonsoir" !

par **mouath13** » 20 Fév 2009, 23:05

Bonsoir,j'allais écrire merci pour la personne qui a expliqué ce qu'est un nombre composé mais le message marchait pas car soi disant trop court ,bref suis poli et juge pas sans mener d'enquêtes merci

par **mouath13** » 20 Fév 2009, 23:07

merci uztop mais L justement doit tendre vers + infini donc comment conclure avec ton idée?c'est pas mieux de démarrer avec la définition d'une fonction qui tend vers l'infini en l'infini?

par **uztop** » 20 Fév 2009, 23:10

ce genre de trucs se démontre par l'absurde en général. On va donc considérer que L ne tend pas vers l'infini.
L'explication de mathelot te permet de construire une suite de plus de L nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Or, les nombres premiers devraient être espacés de L au maximum -> contadition

par **Lemniscate** » 20 Fév 2009, 23:11

mouath13 a écrit:Bonsoir,j'allais écrire merci pour la personne qui a expliqué ce qu'est un nombre composé mais le message marchait pas car soi disant trop court ,bref suis poli et juge pas sans mener d'enquêtes merci

En fait je crois que c'est le premier message de cette discussion qui fait tâche ! Comme j'ai essayé de te le faire remarquer avec un "Bonjour !" et un "Au revoir!". En effet ton premier message est :

Soit p_n nième nombre premier

*) Montrer que lim sup(p_n+1-p_n)=infini

Donc sur celui ci tu n'as pas fait preuve de beaucoup de politesse

A bon entendeur...

par **mouath13** » 20 Fév 2009, 23:48

ok merci uztop,mais ils devraient être premiers ces nombres non? car par hypothèse p_n est premier

par **Doraki** » 21 Fév 2009, 03:18

uztop a écrit:ce genre de trucs se démontre par l'absurde en général. On va donc considérer que L ne tend pas vers l'infini.
L'explication de mathelot te permet de construire une suite de plus de L nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Or, les nombres premiers devraient être espacés de L au maximum -> contadition

[leon1789]
Encore une fois ça coute rien de retirer ce raisonnement par l'absurde :
Montrons directement que limsup (p_{m+1} - p_m) = + l'infini,
c'est à dire que pour tout n, il existe m tel que p_{m+1} > p_m + n.
Soit donc n un entier arbitrairement grand.
Prenons p_m = le plus grand nombre premier (n+1)!+(n+1),
donc p_{m+1}-p_m > (n+1)!+(n+1) - (n+1)!-1 = n.
[/leon1789]

par **ThSQ** » 21 Fév 2009, 10:05

Beaucoup plus excitant, le problème jumeau :

quel est

? :k2k:

par **mouath13** » 21 Fév 2009, 10:12

Merci mais j'ai du mal avec l'autre jumeau ,finissons le si vous voulez bien merci

par **ThSQ** » 21 Fév 2009, 10:14

C'était fini dès le post #3

par **Lemniscate** » 21 Fév 2009, 18:27

Oui je pense aussi que tu peux t'arrêter au 3e message. (En considérant bien sûr aussi les remarques concernant la politesse

).

De plus je crois que quand ThSQ parle de

il veut dire

et de même

Or j'ai l'impression que mouath13 parlait simplement de

.

Peux-tu confirmer (ou infirmer) ThSQ ?

EDIT : On parle bien donc de limsup(...) et non lim(sup(...)).

par **leon1789** » 21 Fév 2009, 19:48

uztop a écrit:un nombre composé est un nombre qui n'est pas premier

...et dont la valeur absolue est > 2
(0 et +-1 ne sont ni des nombres premiers, ni des nombres composés)

uztop a écrit:ce genre de trucs se démontre par l'absurde en général.

perso, j'aime pas trop les trucs contradictoires...

Ici, c'est pas la limite_sup qu'il faut réellement regarder, c'est carrément

qui vaut

...(quel que soit l'entier k)
Et l'idée de mathelot permet de justifer cela : quel que soit l'entier d, il existe

tel que

.

ThSQ a écrit:Beaucoup plus excitant, le problème jumeau :
quel est ? :k2k:

Tu penses que c'est 2 ou pas ?

par **ThSQ** » 21 Fév 2009, 20:14

leon1789 a écrit:.Tu penses que c'est 2 ou pas ?

La marge est trop étroite :smoke:

par **uztop** » 21 Fév 2009, 23:18

en ce qui concerne les nombres premiers jumeaux (c'est à dire deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2), il y a une conjecture qui dit qu'il y en a une infinité, mais rien n'a été démontré pour le moment.

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