Serie harmonique

par **moimickey2** » 24 Jan 2009, 16:34

Bonjour à tous,
je viens de m'inscrire au forum, aussi même si c'est un peu tard, je vous souhaite à tous une excellente année 2009.

Sinon, j'ai un petit souci, je ne me souviens plus de comment on calcule la somme de la série harmonique de terme général Un = (-1)^n/n
Je sais que le résultat est ln(2).

Si quelqu'un peut juste me rappeler le départ.

Merci d'avance et bonne journée.

Moimickey2.

par **Pythales** » 24 Jan 2009, 17:23

Le calcul formel est facile
Partir du développement de

(somme de série géométrique), et intégrer terme à terme
La justification est un peu plus délicate

par **moimickey2** » 24 Jan 2009, 18:39

Merci beaucoup

Moimickey2

par **Joker62** » 24 Jan 2009, 18:43

La justification se fait aisément avec le Théorème d'Abel...

par **fatal_error** » 24 Jan 2009, 19:36

On peut aussi la retrouver avec le developpement en serie d'hélène :

En posant

, on a alors

sauf boulette

par **ThSQ** » 24 Jan 2009, 20:05

Perso je dirais plutôt -ln(2) :id:

Une façon 100% élémentaire :

puis on compare avec une intégrale

et une autre :

MoiMinnie

par **moimickey2** » 25 Jan 2009, 23:10

Bonsoir,
Merci beaucoup MoiMinnie, j'aime bien la deuxième surtout que c'était le point de départ pour montrer que selon les groupements de termes, on pouvait arriver à la somme qu'on voulait.

Encore merci à tous et à bientôt sur ce forum

Moimickey2

par **ThSQ** » 26 Jan 2009, 11:13

moimickey2 a écrit:selon les groupements de termes, on pouvait arriver à la somme qu'on voulait.

Ex archi-classique (surtout pour un agrégatif

: Mq c'est vrai pour toute série semi-convergente.

par **moimickey2** » 26 Jan 2009, 22:43

Bonsoir,

j'avoue que je ne sais pas trop comment le prouver, mais cela semble montrable après de longues recherches... :)

Au fait quel concours passes-tu ?

Moimickey2

par **Lemniscate** » 26 Jan 2009, 23:45

Euhh il est tard j'ai peut-être pas vu mais je crois que j'ai une autre démo très facile, dès que l'on sait que :

pour

.
résultat que je démontre avec

et un passage à l'intégrale puis à la somme.

En effet

(en regroupant les termes positifs avec les termes négatifs).

et

D'où

D'où :

Or

D'où le résultat !

EDIT : Je viens de voir que c'est ce que proposait en détaillant moins, ThSQ, mais bon j'ai pas envie d'effacer toutes ces belles bornes TEX !

par **moimickey2** » 27 Jan 2009, 08:25

Bonjour et merci,

j'apprécie toutes ces réponses et merci pour les détails, mais les réponses de ThSQ m'avaient permis de finir.

Merci à tous et à bientôt
Moimickey2

par **ThSQ** » 27 Jan 2009, 18:06

@moimickey2 : je passe le concours pour aller à la Grande Ecole

@Lemniscate : fais gaffe, soustraire des équivalents comme tu le fais est "risqué". Tu as de la chance ça marche ici mais c'est parce que \sum 1/k = cste + ln(n) + O(1/n)

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