Recherche de valeurs propres

[sport_1989]

Bonjour à tous (et bonne année) je suis bloqué à une question pourriez vous m'aider svp ??

Soit B la matrice
0 -1 ... -1
1 0 ... 0
. . ... .
1 0 ... 0

B est une matrice d'ordre n ( colonne 1 : 0 puis que des 1 / ligne 1 : 0 puis que des -1 sinon que des 0)

1/rang de B .B inversible ?

--> je dis que Colonne 2 = colonne 3 = ... = colonne n donc on a trivialement que rg B = 2
Comme rg B < n , B n'est pas inversible .

2/ (là je bloque) Trouver Spec B dans C et la dimension des sous espaces propres associés.

Je dis que comme B n'est pas inversible, 0 est valeur propre. De plus dim E0(B) = 2 car Eo = Vect( C2, ..., Cn) ^
Maintenant il reste à trouver les autres valeurs propres ... Comment faire ?? (d'ailleurs 0 est-il bien valeur propre ????)


Par avance merci !

[sport_1989]

J'ai posé une colle ??? :hum:

[guillaumeL]

Comme rg B < n , B n'est pas inversible

Attention, si n = 1 ou 2, ça n'est plus vraie.

Avec rang B = 2, on récupère que "0" est valeur propre d'ordre au moins n-2.

Maintenant il reste à trouver les autres valeurs propres ... Comment faire ??

Il te reste 2 valeurs propres (en comptant les multiplicité) à trouver.
Tu peux essayer de les trouver en calculant le determinant de (B-x*id), et en le factorisant (c'est souvent lourd). Si tu arrives à en trouver une autre visuellement (ou autrement), tu peux utiliser la trace pour trouver la dernière.(qui est égale à la somme des valeurs propres).
Tu peux peut-être aussi intuiter le résultat à partir de la matrice pour n =2 ou n=3.

[abcd22]

Bonjour,
Pour trouver les deux valeurs propres restantes, on peut regarder ce qu'on peut faire du système (qui est plutôt simple) BX = aX où X est un vecteur non nul et a est un complexe non nul.

[sport_1989]

Cela fait beaucoup de méthodes ! J'ai opté pour l'étude de la matrice à l'ordre 2 que je nomme J. Je trouve Spec J = (-i ; + i ).

A partir de là, puis-je affirmer que i et -i sont valeurs propres de B ? Y a -t-il un théoreme ou puis-je tout simplement dire : "par intuition -i et i sont valeurs propres de B " ?

[sport_1989]

D'ailleurs, en étudiant la dimension de Ei(B) et E-1(B) les deux sous espaces propres associés à i et -i , je ne trouve pas dim Ei(B) =1...

En faisant : BX = iX et en résolvant (on pose X =(x1,x2,..,xn))

je trouve (mais il y a peut etre erreur) Ei(B) = Vect (x3,...,xn)
d'où dim Ei(B) = n-3

[sport_1989]

Après avoir refait le système, il se trouve que la dimension de Ei(B) et E-i(B) soit bien 1. :we:

Néanmoins je ne suis pas sur de mon résultat : Ei(B) = Vect (x1) = E-i(B) ??

[abcd22]

A partir de là, puis-je affirmer que i et -i sont valeurs propres de B ? Y a -t-il un théoreme ou puis-je tout simplement dire : "par intuition -i et i sont valeurs propres de B " ?

Non, c'est d'ailleurs faux pour n > 2. La méthode générale la plus rapide est à mon avis celle que j'ai dite.

[sport_1989]

Merci pour votre méthode abcd22 ... Je résoud le système BX = aX en posant X=(x1,x2,...,xn) je trouve deux valeurs propres : racine de n-1 et moins racine de n-1.

Je trouve Erac(n-1)(B) = Vect (-1, -rac(n-1)) donc dim =2 . Problème non ? car dim E-rac(n-1) = 2 aussi..

[abcd22]

Merci pour votre méthode abcd22 ... Je résoud le système BX = aX en posant X=(x1,x2,...,xn) je trouve deux valeurs propres : racine de n-1 et moins racine de n-1.

Il manque des i (tu ne retrouves pas ce que tu avais trouvé pour n = 2 là). Les sous-espaces propres (complexes) sont bien de dimension 1, ils sont engendrés chacun par un vecteur (à n coordonnées).

[sport_1989]

oui je trouve a = i*rac(n-1) ou a = -i*rac(n-1)

mais en résolvant le systeme BX = i*rac(n-1)X je trouve
-x1*rac(n-1) = -x1*rac(n-1) soit 0 = 0
Comment puis montrer que l'espace est de dimension 1 ??? (bien que par intuition on le devine) et donc que c'est Vect (...) ?

[abcd22]

On peut exprimer tous les xi, i > 2 en fonction de x1 (qui est quelconque), donc ça donne un espace à un paramètre.

[sport_1989]

AH oui c'est bien ça donc on a bien diagonalisabilité !!! :happy2: Merci beaucoup !!!