Polynomes

par **Charlou** » 09 Déc 2008, 17:55

Bonsoiiir je n'arrive décidément pas à résoudre cet exercice

P un polynome non nul vérifie 4P=(X-1)P'+P''

Je dois déterminer le degré de P et trouver les relations entre les P^k(1) pour k appartient à N, et enfin déterminer tous les polynomes P possibles...

Est ce que je pourrais avoir des indications please ?

Merci.

par **ThSQ** » 09 Déc 2008, 18:21

Identifie les coef de plus haut degré des deux côtés

par **Luc** » 09 Déc 2008, 18:22

Salut,

Identifie les coefficients dominants de chaque membre et tu verras que P est de degré 4 (dans le membre de droite, seul le terme XP' apporte un terme de degré maximal).

Après, c'est seulement du calcul à cinq inconnues.

Bon courage,

Luc

par **ffpower** » 09 Déc 2008, 18:34

l indic semble dire qu apres,on écrit

,on remplace dans l équation et on identifie..

par **Black Jack** » 09 Déc 2008, 18:35

Soit n le degré de P

P(x) = ax^n + ...
P'(x) = ...

Et puis mets les résultat dans 4P=(X-1)P'+P''... et tu trouveras la valeur de n.

...

:zen:

par **ffpower** » 09 Déc 2008, 18:38

mouai,l exo semble vouloir qu on développe en 1,mais ca a pas l air bien plus compliqué en développant en 0^^

par **Charlou** » 10 Déc 2008, 17:40

Merci beaucoup^^

par **Black Jack** » 10 Déc 2008, 17:46

ffpower a écrit:mouai,l exo semble vouloir qu on développe en 1,mais ca a pas l air bien plus compliqué en développant en 0^^

Une ligne plus loin que mon message 5, on trouve n = 4

Donc P(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e

On détermine alors:
P'(x) = ...
P''(x) = ...

Et en entrant cela dans 4P=(X-1)P'+P'', par identifications des coefficients de même puissance en x, on arrive rapidement à :

P(x) = ax^4 - 4ax³ + 12ax²- 16ax + 10a
Avec a un réel quelconque différent de 0 (puisque le polynome nul est interdit).

Voila, une méthode est donnée et la dernière ligne à trouver aussi.

Il reste à Charlou à suivre la voie indiquée ... et voir s'il arrive à la solution.

:zen:

par **Charlou** » 10 Déc 2008, 18:42

J'ai compris pour le degré, mais à present comment déterminer tous les polynomes possibles ? Dois je utiliser la formule de Taylor ?

par **Charlou** » 10 Déc 2008, 18:57

Oups je retire ma question idiote!

par **Charlou** » 10 Déc 2008, 19:00

Black Jack a écrit:Une ligne plus loin que mon message 5, on trouve n = 4

Donc P(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e

On détermine alors:
P'(x) = ...
P''(x) = ...

Et en entrant cela dans 4P=(X-1)P'+P'', par identifications des coefficients de même puissance en x, on arrive rapidement à :

P(x) = ax^4 - 4ax³ + 12ax²- 16ax + 10a
Avec a un réel quelconque différent de 0 (puisque le polynome nul est interdit).

Voila, une méthode est donnée et la dernière ligne à trouver aussi.

Il reste à Charlou à suivre la voie indiquée ... et voir s'il arrive à la solution.

:zen:

Peux tu éclairer ma lanterne, cete écriture de P(x) = ax^4 - 4ax³ + 12ax²- 16ax + 10a est donc la seule possible ?

par **Doraki** » 10 Déc 2008, 19:03

En regardant ce que donne la relation pour x=1, on trouve 4P(1) = P"(1)
En dérivant la relation et en regardant toujours pour x=1, on trouve les relations
4P(1) = P"(1),
3P'(1) = P"'(1)
2P"(1) = P""(1)
P"'(1) = 0
En résolvant ça on trouve les valeurs possibles pour les 5-uplets (P^(k)(1))

Ensuite, en développant P en série de Taylor en 1, on trouve que P doit être de la forme a(X-1)^4 + 6a(X-1)² + 3a

par **Charlou** » 10 Déc 2008, 19:47

Mais à quoi est égal a ?

par **Doraki** » 10 Déc 2008, 19:56

a c'est n'importe quel réel.
C'est lui qui donne l'infinité des solutions.

T'as déjà résolu des systèmes de 4 équations à 5 inconnues ?
Quelles sont les valeurs possibles des 5-uplets (P(1), P'(1), P"(1), P"'(1), P""(1)) qui vérifient les 4 équations obtenues avec la relation de départ ?

par **Black Jack** » 10 Déc 2008, 20:16

Charlou a écrit:Peux tu éclairer ma lanterne, cete écriture de P(x) = ax^4 - 4ax³ + 12ax²- 16ax + 10a est donc la seule possible ?

Oui, c'est la seule possible.
Mais on peut prendre n'importe quelle valeur réelle pour a, sauf 0 car le polynome nul est interdit par l'énoncé.

Si tu suis la méthode que j'ai donnée, tu dois y arriver facilement.

Tu peux aussi y arriver par la méthode de Doraki, mais cela demande de connaître des notions que tu n'as peut-être pas encore étudiées.

Celle que je propose ne demande que des notions très basiques.

:zen:

Polynomes

Polynomes

Qui est en ligne