Suites numériques

[alizette]

Bonjour à tous j'ai un exercice à faire et je bloque sur la récurence 2a)

j'ai essayé mais je ne suis vraiment pas sure

soit pn la propriété Un> rac 2
pour n=0 U0=1/2 > rac 2
donc la propriété est initialisé en n=0

supposons que pour un certain entier k la propriété esst vraie et démontrons qu'elle est encore vraie pour Uk+1

Uk>rac2
Uk+2/Uk > rac 2 +2/Uk
1/2(Uk+2/Uk) > rac(2)/2 +2/Uk
Uk+1> rac(2)/2 +2/Uk
donc la prop est héréditaire pour tout n

2b) je bloque aussi
2c)
2d) Comme Un est décroissante et minorée alors elle converge ver s un réel l
3)on remarque que Un=f(x) donc l est solution de m'équation
donc l=rac2

merci d'avance

[Florélianne]

Bonjour
2) a . Si tu as commencé par étudier la fonction f(x) = 1/2(x+ 2/x)
c'est pour t'en servir !
tu as fais le tableau de variation de f
tu as constaté qu'elle avait un minimum
et Un+1 = f(Un)
que peux-tu dire de Un à partir de n= 1 ?
Sur quelle partie de la courbe nous trouvons-nous ?
donc conclusion ?

2) b. Pour tout x > V2
f(x) - x = x/2 + 1/x - x = 1/x - x/2
mais x > V2 donc 1/x V2 donc -x [u] 0 il existe n entier tel que |Un -Ll < a
et il existe un entier p=n-1 tel que iUp+1 - Ll < a
donc lim Up+1 = L
les fonction h(x) = x et k(x) = 1/x sont continue sur IR+
donc lim 1/2(Un + 2/Un)= 1/2(L + 2/L)
donc 1/2(L+ 2/L) = L

résoudre dans IR+*
1/2(x + 1/x) = x n'est pas difficile... tu obtiens un pplynôme de degré 2, mais seule la racine positive nous intéresse...
Bon travail