Equation différentielle

[bfme]

Bonjour à tous, je vois pas trop par quelle méthode passer pour l'exercice suivant, merci de m'aider!

On me demande de résoudre sur R l'équation diffénretielle y'= lyl

Alors en réfléchissant un peu je pense que les solutions sont la fonction nulle, la fonction exponentielle et x -> -e^(-x).
Mais comment le montrer??

[COTLOD]

Bonjours,
Je pense qu'il faut raisonner sur des intervalles ouverts I,J sur lesquels la solution est respectivement positive et négative. L'idée à priori étant qu'on pourrait raccorder.
Sur I on obtient l'équation y'=y, sur J on a y'=-y.
Il se trouve qu'on ne peut pas raccorder, montrons donc que c'est impossible.

[bfme]

Ok en suivant cette idée j'ai travaillé sur ]0;+inf[ et sur ]-inf;0[ et on a f solution telle que :

sur ]0;+inf[ : f(t)= a*e^(t) et a sur R
sur ]-inf;0[ : f(t)= b*e^(-t) et b sur R

En raisonnant par analyse/synthèse il vient que lim f(t) = a et lim f(t) = b
0+ 0-
Comment peut-on faire alors pour la suite??

[COTLOD]

Je ne suis pas d'accord, si on veut que le signe de y soit constant on doit se méfier du signe des constantes a et b. Ceci fait les intervalles s'étendent volontier à R.

[bfme]

Le signe de y est constant quel que soit la valeur de a et b sur R, non??

[COTLOD]

Je me suis mal exprimé, si a>0 alors est solution sur R. Par contre si a0 alors n'est pas solution.

[bfme]

Oui tout à fait, on a donc a>0 et b<0, on essaie ensuite de recoller et on a :
lim f(t) = a
0+

lim f(t) = b
0-

Et comme a et b sont différents d'après leur intervalle de définition, on ne peut donc pas raccorder?

[COTLOD]

Je dirais que le choix de ce 0 est arbitraire, n'importe quelle borne serait envisageable. De plus on peut prendre les solutions et avec .
On ne peut pas faire des collages pour produire d'autres solutions car elles sont les unes positives, et les autres négatives.

On pourrait en dire long sur ce qu'on ne peut pas faire, est-ce que tu vois comment présenter les choses?

[bfme]

Eh bien je vois pas trop où vous voulez en venir mais en tout cas on a 2 fonctions solutions et c'est tout ce qu'il y a (avec la fonction nulle qui fonctionne tout le temps) donc les solutions de (E) sont : la fonction nulle, ae^t et be^(-t)

PS: désolé de pas avoir pu répondre plus tôt, soucis de connexion!