Test d'adéquation

[farator]

Salut =)
J'ai un petit problème concernant le cours sur le test d'adéquation.
Il est écrit :
On considère une expérience aléatoire dont les issues possibles sont . On répète n fois cette expérience, et on note les fréquences d'apparitions respectives de . Pour teste si l'expérience est équiprobable, on définit le réel tel que :

Régle de décision :
- Si d²obs est inférieur ou égal au 9e décile, alors on accepte le modèle d'équirépartition.
- Si d²obs est strictement supérieur au 9e décile, alors on rejette le modèle d'équirépartition avec un risque d'erreur de 10%.

Mon problème : Je ne sais pas du tout ce qu'est le 9e décile et à quoi il est égal.
Merci

[Nightmare]

Salut farator :happy3:

De mes souvenirs de stats, le 9ème décile est celui qui partage une série statistique en 2 : 90% des données d'un côté et 10% de l'autre

[farator]

Ok merci =)
Mais de quoi est composée cette série ? :hein:

[Nightmare]

ben, des xk non?

[Benjamin]

Bonjour à vous deux,

ben, des xk non?

Et bien non, pas du tout !!
Il faut comprendre ce qu'on cherche à faire et comment ça fonctionne.

A quoi sert un test d'adéquation ? Il sert à savoir si on a une distribution équirépartie (tu as une série dont tu veux tester si elle a une probabilité quasi certaine d'être issue d'une expérience de tirages équiréparties). Exemple : est-ce que les 100 premières décimales de PI sont réparties de manière aléatoire ? Ces 100 premières décimales forment une série dont les valeurs prises sont les 9 chiffres de 0 à 9.
Donc, tu as une série à tester. Et pour cette série, tu calcules ton (d_exp)².

Ensuite, tu simules n expériences correspondant à ce que tu veux tester. En reprenant notre exemple, l'expérience est le tirage aléatoire équirépartie de 100 chiffres entre 0 et 9. Tu obtiens donc n séries statistiques. Et pour chacune de ces séries, tu as un (d_i)².
C'est cette nouvelle série, celle des 100 (d_i)² qu'il faut considérer. EDIT : ce n'est pas 100 (d_i)² mais bien n (d_i)² que comporte la série. On fait n fois l'expérience, donc on calcule n d².
Tu prends le 9ème décile de cette série.

[Nightmare]

Heureusement qu'il n'y a plus de stats en prépa :lol2:

[Benjamin]

MDR. Je trouve ça assez dur à expliquer et à comprendre par des mots, mais une fois qu'on a résolu un exemple ou 2, ça va tout seul :)

[farator]

C'est cette nouvelle série, celle des 100 (d_i)² qu'il faut considérer.
Tu prends le 9ème décile de cette série.

Merci beaucoup pour vos réponses.
Comme je te l'ai déjà dit tu devrais être prof Benjamin :zen:
C'est bon j'ai bien compris. Cependant, comment calculer le 9eme décile de la série ?
Il faut prendre le 90eme de la série ?
Finalement, la distribution est équirépartie si le que l'on trouve est compris entre la valeur minimale de la série de 100 et la 90eme plus grosse valeur de cette même série ?

[Benjamin]

Oups excuse, j'ai mis un 100 à la place d'un n au-dessus. J'ai édité le post.
Ensuite,
Si n = 100, alors le 90ème décile et bien le (d_90)² si on a rangé les d_i² dans l'autre croissant. Et donc finalement, la série qu'on teste peut être considéré comme issu d'une expérience équirépartie si le (d_exp)² et compris entre le plus petit d_i² et le 9ème décile de cette série (si n=100, c'est donc en effet d_90².

[farator]

Ok je pense avoir compris.

Pour être sûr, je crée un exemple :
On cherche à savoir si un dé à six faces est parfaitement équilibré, donc si on obtient les chiffres x1=1, x2=2 ... x6=6 de manière équirépartie.
L'expérience consiste à lancer 120 fois le dé, et à noter la fréquence d'apparition des x1,...,x6 (Soit f1,...,f6). Si le dé est parfaitement équilibré, on aura donc théoriquement f1=f2=...=f6=1/6
On calcule le de la série obtenue grâce à la formule

On réalise 1000 fois cette expérience, constitant à lancer 120 fois le dé.
On obtient ainsi 1000 qu'on range dans l'ordre croissant. Le 9eme décile correspond au 900ème.

La série que l'on teste peut être considérée comme équirépartie si est compris entre le minimal de la série et le 9ème décile.

[Benjamin]

Ok je pense avoir compris.

Pour être sûr, je crée un exemple :
On cherche à savoir si un dé à six faces est parfaitement équilibré, donc si on obtient les chiffres x1=1, x2=2 ... x6=6 de manière équirépartie.
L'expérience consiste à lancer 120 fois le dé, et à noter la fréquence d'apparition des x1,...,x6 (Soit f1,...,f6). Si le dé est parfaitement équilibré, on aura donc théoriquement f1=f2=...=f6=1/6
On calcule le de la série obtenue grâce à la formule

Jusque là, tout va bien .

On réalise 1000 fois cette expérience, constitant à lancer 120 fois le dé.
On obtient ainsi 1000 qu'on range dans l'ordre croissant. Le 9eme décile correspond au 900ème.

Non, tu ne réalises pas 1000 fois cette expérience. Tu réalises 1000 fois l'expérience de 120 lancés de dé équilibré. C'est là toute la subtilité. Ta série des , tu l'obtiens par la répétition de l'expérience SI elle était équirépartie. Et tu compares avec TON expérience. Avec le dé que tu veux tester. Mais les 1000 expériences ne se font surtout pas avec le dé à tester, mais avec un dé dont on sait qu'il est parfaitement équilibré.

[farator]

D'accord, j'essaie de corriger :

On cherche à savoir si un dé à six faces est parfaitement équilibré, donc si on obtient les chiffres x1=1, x2=2 ... x6=6 de manière équirépartie.
L'expérience consiste à lancer 120 fois un dé équilibré, et à noter la fréquence d'apparition des x1,...,x6 (Soit f1,...,f6). Le dé étant parfaitement équilibré, on aura donc théoriquement f1=f2=...=f6=1/6
On calcule le de la série obtenue grâce à la formule

On réalise 1000 fois cette expérience, constitant à lancer 120 fois le dé équilibré.
On obtient ainsi 1000 qu'on range dans l'ordre croissant. Le 9eme décile correspond au 900ème.

On prend ensuite un dé dont on ne sait pas s'il est équilibré ou non. On réalise une fois l'expérience consistant à le lancer 120 fois.
Si le calculé est compris entre et le 9eme décile, alors le dé est considéré comme équilibré.

[Benjamin]

C'est quasiment ça. En fait l'expérience consiste à lancer un dé 120 fois. Le truc, c'est que tu cherches à savoir si ton dé est équilibré. Tu fais donc une série statisque pour voir si la distribution est issue d'une loi équirépartie. Après, plus tu lances de fois le dé, mieux c'est.
A part ça, on peut dire que tu as compris ;)

[mimys80]

Bonjour
Je suis entrain de faire une étude sur les tests d'adéquation (khi2, kolmogorov-Smirnov, Anderson–Darling, Cramer-Von Mises).
Je veux savoir quels sont les critères de sélection ou d'utilisation des tests d'adéquation (nombre d'échantillon, domaine d'application, ...) ou c'est au hasard.

Merci