Probabilités Et Test De Dépistage

[versatis]

Bonjour,

Qui peut me donner un coup de main pour cette exercice de mon DM (vérifier la partie 1 et m'aider à la partie 2):


Soit un test supposé dépister une maladie dans une population donnée. On note, M

l'événement « l'individu est malade » et t l'événement « l'individu a un test positif». On

appelle valeur diagnostique du test la probabilité qu'un individu soit malade sachant

que le test est positif. On note t le taux d'individus malades dans la population et v, la

valeur diagnostique du test. Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes

: la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est 0,99 et la probabilité qu'un

individu non malade ait un test négatif est 0,99.

1. Cas particulier. Supposons que t = 0.03. Calculer les probabilités que:

a) un individu ait un test Positif
-->p(P) = 0.0394
b) Un individu dont le test est positif soit malade.
-->pP(M)= 0.297/0.394
c) un individu dont le test est positif ne soit pas malade (On parle dans ce cas de « faux positif ».)
--> pP(Mbarre) = 0.0097/0.394
d) un individu dont le test est négatif soit malade (On parle dans ce cas de « faux négatif».)
--> pPbarre(M) = 3/960600

2. Cas général. t est un réel de l'intervalle [0 ; 1]


a) Exprimer p(M inter T) et p(Mbarre inter T) en fonction de t. En déduire que p(T)= 0.98t + 0.01 et que v = 99t / (98t+1)

b) Etudier la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(t) = 99t / (98t+1)

c) Que peut-on dire de la valeur diagnostique du test pour les maladies rares, c'est à dire quand t est proche de zero ? A partir de quelle valeur de t la valeur diagnostique du test est-elle supérieure à 0,5 ?

d) Exprimer PTbarre(Mbarre )en t'onction de t . Etudier la fonction t->PTbarre(Mbarre )

e) Quelle conclusion générale peut-on tirer quant à la valeur diagnostique d'un test ?

Merci d'avance pour votre aide!

[versatis]

Petite erreur de notation; pour la 1er partie:
P « l'individu a un test positif». (au lieux de T)

et pour la 2eme partie:
T « l'individu a un test positif».


Voila, un petit coup de main?? au moins pour vérifier ma première partie?